자연계열 II 2번

경북대 2025학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2025mo/jayeon2_2

(가) 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 와 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$

(나) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$ 가 $\displaystyle a=g(\alpha)$ , $\displaystyle b=g(\beta)$ 인 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 를 포함하는 구간에서 연속이면 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

(다) 삼각함수의 덧셈정리 $\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

(라) 음함수 표현 $\displaystyle f(x,y)=0$ 에서 $\displaystyle y$ 를 $\displaystyle x$ 의 함수로 보고, 양변의 각 항을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하여 $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}$ 를 구한다.

(마) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 임의의 세 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ 를 포함하는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=3$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AD}}=\sqrt3$ 인 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm A$ 로부터 거리가 $\displaystyle 2$ 인 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm E$ , 점 $\displaystyle \mathrm D$ 로부터 거리가 $\displaystyle 2$ 인 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm F$ 라 하자.

$\displaystyle 0<p\le\dfrac\pi3$ 인 실수 $\displaystyle p$ 에 대하여 아래를 생각하자.

(Ⅰ) 각 $\displaystyle \mathrm{FPD}$ 의 크기가 $\displaystyle p$ 를 만족시키는 반직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm P$ 라 하자. (단, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}<\overline{\mathrm{AP}}$ )

(Ⅱ) 중심이 $\displaystyle \mathrm P$ 이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}}$ 인 원 위의 점 $\displaystyle \mathrm D^{\prime}$ 에 대하여 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PDD}^{\prime}$ 의 호의 길이가 $\displaystyle 2$ 일 때, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PDD}^{\prime}$ 의 중심각의 크기를 $\displaystyle r$ (라디안)이라 하자. (단, $\displaystyle 0<r<\dfrac{2\pi}3$ )

(Ⅲ) 중심이 $\displaystyle \mathrm P$ 이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}$ 인 원과 반직선 $\displaystyle \mathrm{PD}^{\prime}$ 의 교점을 점 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}$ 라 하자.

(Ⅳ) 중심이 $\displaystyle \mathrm P$ 이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}$ 인 원 위의 점 $\displaystyle \mathrm B^{\prime}$ 에 대하여 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PBB}^{\prime}$ 의 중심각의 크기가 $\displaystyle r$ (라디안)일 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ , 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PBB}^{\prime}$ 의 호, 선분 $\displaystyle \mathrm B^{\prime}\mathrm A^{\prime}$ , 선분 $\displaystyle \mathrm A^{\prime}\mathrm D^{\prime}$ , 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PDD}^{\prime}$ 의 호, 선분 $\displaystyle \mathrm{DA}$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S(p)$ 라 하자.

예를 들어, 다음은 $\displaystyle p=\dfrac\pi8$ 일 때의 그림이다.

직사각형 ABCD와 P를 중심으로 회전한 부채꼴 및 영역 S(p)의 대학 원본 그림

다음 물음에 답하시오.

【2-1】 $\displaystyle r$ 을 $\displaystyle p$ 의 함수로 나타내시오. (10점)

【2-2】 $\displaystyle S(p)$ 를 $\displaystyle p$ 의 함수로 나타내시오. (40점)

【2-3】 각 $\displaystyle \mathrm{EPD}$ 를 $\displaystyle q$ 라 하자. $\displaystyle p=\dfrac\pi6$ 일 때 $\displaystyle \dfrac{dq}{dp}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 0<q<\dfrac\pi3$ ) (40점)

【2-4】 함수 $\displaystyle p(t)$ 가 $\displaystyle p(t)=\begin{cases}\dfrac\pi3t&\left(\dfrac12\le t<1\right)\\\dfrac\pi3&(1\le t<2)\\\pi-\dfrac\pi3t&\left(2\le t\le\dfrac52\right)\end{cases}$ 일 때, $\displaystyle \int_{\frac12}^{\frac52}S(p(t))\,dt=m\sqrt3+\dfrac{n\ln3}\pi$ 이다. 자연수 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 의 값을 각각 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

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+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{PD}}

\displaystyle \overline{\mathrm{DF}}

\displaystyle r

의 관계를 표현하였으면

【2-1】 (호 $\displaystyle \mathrm{DD}^{\prime}$ 의 길이) $\displaystyle =\overline{\mathrm{PD}}r=2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}}=\dfrac2r=\overline{\mathrm{DF}}\cot p=2\cot p$ .

+5점 ·

\displaystyle r=\tan p

를 구하였으면

따라서 $\displaystyle r=\tan p$

+10점 ·

\displaystyle S(p)

를 각 영역의 넓이의 합으로 나누었으면

+20점 · 각 영역의 넓이를 올바르게 계산하였으면 ● 나눈 영역의 개수(

\displaystyle N

)에 대해 틀리게 계산한 영역당

\displaystyle 20/N

감점

【2-2】 $\displaystyle \angle\mathrm{BPA}$ 를 $\displaystyle w$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PB}}\cos w$ 이다. 점 $\displaystyle \mathrm P$ 를 좌표평면의 원점이라 하고 반직선 $\displaystyle \mathrm{PA}$ 를 양의 $\displaystyle x$ 축이라 하면 $\displaystyle \begin{array}{lll}\mathrm A=(\overline{\mathrm{PB}}\cos w,0)&\mathrm B=(\overline{\mathrm{PB}}\cos w,\overline{\mathrm{PB}}\sin w)&\mathrm D=(\overline{\mathrm{PD}},0)\\\mathrm A^{\prime}=(\overline{\mathrm{PB}}\cos w\cos r,\overline{\mathrm{PB}}\cos w\sin r)&\mathrm B^{\prime}=(\overline{\mathrm{PB}}\cos(r+w),\overline{\mathrm{PB}}\sin(r+w))&\mathrm D^{\prime}=(\overline{\mathrm{PD}}\cos r,\overline{\mathrm{PD}}\sin r)\end{array}$ 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PBB}^{\prime}$ 의 호와 $\displaystyle x$ 축, 두 직선 $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PA}}$ , $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PB}}\cos(r+w)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_1$ , 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PDD}^{\prime}$ 의 호와 $\displaystyle x$ 축, 직선 $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PD}}\cos r$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_2$ , 선분 $\displaystyle \mathrm D^{\prime}\mathrm A^{\prime}$ 와 $\displaystyle x$ 축, 두 직선 $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PD}}\cos r$ , $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PA}}\cos r$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_3$ , 그리고 선분 $\displaystyle \mathrm B^{\prime}\mathrm A^{\prime}$ 와 $\displaystyle x$ 축, 두 직선 $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PB}}\cos(r+w)$ , $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PA}}\cos r$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S_4$ 라 하자.부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PBB}^{\prime}$ 의 호, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{PDD}^{\prime}$ 의 호는 각각 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{PD}}$ 인 원의 일부이므로 (가)에 의해 $\displaystyle S_1=\int_{\overline{\mathrm{PB}}\cos(r+w)}^{\overline{\mathrm{PB}}\cos w}\sqrt{\overline{\mathrm{PB}}^2-x^2}\,dx,\quad S_2=\int_{\overline{\mathrm{PD}}\cos r}^{\overline{\mathrm{PD}}}\sqrt{\overline{\mathrm{PD}}^2-x^2}\,dx$ 각각 $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PB}}\cos(u)$ , $\displaystyle x=\overline{\mathrm{PD}}\cos(u)$ 로 두면 (나), (다)에 의해 $\displaystyle \begin{aligned}S_1&=\int_{r+w}^w\{-\overline{\mathrm{PB}}^2\sin^2u\}\,du=\overline{\mathrm{PB}}^2\int_w^{r+w}\dfrac{1-\cos(2u)}2\,du=\dfrac{\overline{\mathrm{PB}}^2}2\left(r-\dfrac{\sin(2(r+w))}2+\dfrac{\sin(2w)}2\right)\\S_2&=\int_r^0\{-\overline{\mathrm{PD}}^2\sin^2u\}\,du=\overline{\mathrm{PD}}^2\int_0^r\dfrac{1-\cos(2u)}2\,du=\dfrac{\overline{\mathrm{PD}}^2}2\left(r-\dfrac{\sin(2r)}2\right)\end{aligned}$ $\displaystyle S_3$ 와 $\displaystyle S_4$ 는 사다리꼴의 넓이이므로 $\displaystyle S_3=\dfrac12(\overline{\mathrm{PB}}\cos w\cos r-\overline{\mathrm{PD}}\cos r)(\overline{\mathrm{PB}}\cos w\sin r+\overline{\mathrm{PD}}\sin r)$ $\displaystyle S_4=\dfrac12(\overline{\mathrm{PB}}\cos w\cos r-\overline{\mathrm{PB}}\cos(r+w))(\overline{\mathrm{PB}}\sin(r+w)+\overline{\mathrm{PB}}\cos w\sin r)$

+10점 ·

\displaystyle S(p)

를 올바르게 구하였으면

$\displaystyle S(p)=S_1-S_2+S_3-S_4$ 이므로, (나)를 이용하여 정리하면 $\displaystyle S(p)=\dfrac r2(\overline{\mathrm{PB}}^2-\overline{\mathrm{PD}}^2)=\dfrac r2((\overline{\mathrm{PD}}+\overline{\mathrm{AD}})^2+\overline{\mathrm{AB}}^2-\overline{\mathrm{PD}}^2)=\dfrac{\tan p}2(12+4\sqrt3\cot p)=2\sqrt3+6\tan p$ Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: 첫 풀이에서 $\displaystyle S_3$ 로 쓴 식은 $\displaystyle \cos r<0$ 이면 음수가 되므로 사다리꼴의 넓이가 아니다. 예를 들어 $\displaystyle p=\frac\pi3$ 이면 $\displaystyle r=\sqrt3>\frac\pi2$ 이다. 이 경우 두 점의 좌우 순서에 맞게 길이와 넓이의 합·차를 다시 정해야 한다. 부채꼴의 넓이를 이용한 별해에서는 이러한 구분 없이 $\displaystyle S(p)=2\sqrt3+6\tan p$ 를 얻을 수 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

별해) 삼각형 $\displaystyle \mathrm P\mathrm A^{\prime}\mathrm B^{\prime}$ 과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAB}$ 는 SAS합동이므로 넓이가 같다. $\displaystyle \begin{aligned}S(p)&=S(p)+(\text{삼각형 }\mathrm P\mathrm A^{\prime}\mathrm B^{\prime}\text{의 넓이})+(\text{부채꼴 }\mathrm{PDD}^{\prime}\text{의 넓이})\\&\quad-(\text{삼각형 }\mathrm{PAB}\text{의 넓이})-(\text{부채꼴 }\mathrm{PDD}^{\prime}\text{의 넓이})\\&=(\text{부채꼴 }\mathrm{PBB}^{\prime}\text{의 넓이})-(\text{부채꼴 }\mathrm{PDD}^{\prime}\text{의 넓이})\\&=\dfrac{r(p)}2(\overline{\mathrm{PB}}^2-\overline{\mathrm{PD}}^2)\\&=\dfrac{r(p)}2((\overline{\mathrm{PD}}+\overline{\mathrm{DA}})^2+\overline{\mathrm{AB}}^2-\overline{\mathrm{PD}}^2)\\&=\dfrac{\tan p}2\left(\dfrac{4\sqrt3}{\tan p}+12\right)\\&=2\sqrt3+6\tan p\end{aligned}$

+15점 ·

\displaystyle p

와

\displaystyle q

사이의 관계식을 구하였으면

【2-3】 $\displaystyle 2\cot q=\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{PD}}+\overline{\mathrm{DA}}=2\cot p+\sqrt3$ 이므로 제시문 (다)의 음함수 미분법에 의해

+15점 · 음함수 미분을 올바르게 적용하였으면

$\displaystyle -\dfrac2{\sin^2q}\dfrac{dq}{dp}=-\dfrac2{\sin^2p},\quad\dfrac{dq}{dp}=\dfrac{\sin^2q}{\sin^2p}$

+10점 ·

\displaystyle \dfrac{dq}{dp}

의 값을 올바르게 계산하였으면

$\displaystyle p=\dfrac\pi6$ 일 때, $\displaystyle \cot q=\cot\left(\dfrac\pi6\right)+\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{3\sqrt3}2$ 이고 $\displaystyle \sin q=\dfrac2{\sqrt{31}}$ 이므로, $\displaystyle \dfrac{dq}{dp}=\dfrac{\dfrac4{31}}{\dfrac14}=\dfrac{16}{31}$ .

+5점 · 적분식을

\displaystyle t

에 따라 세 부분으로 나누었으면

+10점 · 가운데 적분구간(

\displaystyle 1\le t<2

)의 적분값을 올바르게 계산하였으면

+20점 · 왼쪽, 오른쪽 적분구간(

\displaystyle \dfrac12\le t<1

\displaystyle 2\le t\le\dfrac52

)의 적분값을 올바르게 계산하였으면 (각 10점)

【2-4】 제시문 (라)에 의해, $\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac12}^{\frac52}S(p(t))\,dt&=\int_{\frac12}^1S(p(t))\,dt+\int_1^2S(p(t))\,dt+\int_2^{\frac52}S(p(t))\,dt\qquad\text{(라)}\\&=\int_{\frac12}^1\left\{2\sqrt3+6\tan\left(\dfrac\pi3t\right)\right\}\,dt+\int_1^2\left\{2\sqrt3+6\tan\left(\dfrac\pi3\right)\right\}\,dt+\int_2^{\frac52}\left\{2\sqrt3+6\tan\left(\pi-\dfrac\pi3t\right)\right\}\,dt\\&=10\sqrt3+6\left\{\int_{\frac12}^1\tan\left(\dfrac\pi3t\right)\,dt+\int_2^{\frac52}\tan\left(\pi-\dfrac\pi3t\right)\,dt\right\}\end{aligned}$ 제시문 (마)에 의해 $\displaystyle u=\dfrac\pi3t$ , $\displaystyle v=\pi-\dfrac\pi3t$ 로 치환하면 $\displaystyle \int_{\frac12}^{\frac52}S(x(t))\,dt=10\sqrt3+\dfrac{18}\pi\left\{\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi3}\tan(u)\,du-\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi6}\tan(v)\,dv\right\}=10\sqrt3+\dfrac{18\ln3}\pi$

+5점 ·

\displaystyle m

과

\displaystyle n

의 값을 올바르게 구하였으면

따라서 $\displaystyle m=10$ , $\displaystyle n=18$ 이다.Correction. 예시답안의 제시문 참조 번호 중 [2-3]에서 음함수 미분법을 가리키는 (다)는 (라)의 오기이다. [2-4]에서 적분구간을 나누는 첫 문장과 첫 등식 끝의 (라)는 모두 (마)의 오기이고, 치환적분을 설명하는 문장의 (마)는 (나)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. [2-4] 예시답안의 마지막 적분식에 쓰인 $\displaystyle S(x(t))$ 는 $\displaystyle S(p(t))$ 의 오기이다. 문제에서 정의한 함수는 $\displaystyle p(t)$ 이며, 앞의 계산도 이를 사용한다. 해당 식은 다음과 같이 읽어야 한다. CTR $\displaystyle \int_{1/2}^{5/2}S(p(t))\,dt =10\sqrt{3}+\frac{18\ln3}{\pi}$ 따라서 $\displaystyle m=10$ , $\displaystyle n=18$ 이라는 결론은 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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