자연계열 II 1번

【1-1】 조건 (Ⅰ)에 $\displaystyle a=b=0$을 대입하면, $\displaystyle 2f(0)\{2+(f(0))^2\}=0$이므로 $\displaystyle f(0)=0$이다.조건 (Ⅰ)에 $\displaystyle b=0$을 대입하고 $\displaystyle f(0)=0$을 이용하면, 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle f(2a)=f(a)\sqrt{4+\{f(a)\}^2}$가 성립함을 알 수 있다.따라서, $\displaystyle f(\ln4)=f(2\ln2)=f(\ln2)\sqrt{4+\{f(\ln2)\}^2}=\dfrac32\sqrt{4+\left(\dfrac32\right)^2}=\dfrac{15}4$이다.

【1-2】 조건 (Ⅰ)에서 $\displaystyle a=h$라 두면 $\displaystyle 2f(b+2h)-2f(b)=f(h)\sqrt{4+\{f(h)\}^2}\sqrt{4+\{f(b)\}^2}+\{f(h)\}^2f(b)$이고,따라서 $\displaystyle \dfrac{f(b+2h)-f(b)}{2h}=\dfrac{f(h)\sqrt{4+\{f(h)\}^2}}{4h}\sqrt{4+\{f(b)\}^2}+\dfrac{\{f(h)\}^2f(b)}{4h}$이다.한편, $\displaystyle \lim_{h\to0}f(h)=f(0)=0$, $\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(h)}h=f^{\prime}(0)=2$임을 이용하면,$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{f(b+2h)-f(b)}{2h}=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)}h\dfrac{\sqrt{4+\{f(h)\}^2}}4\sqrt{4+\{f(b)\}^2}+\dfrac{f(b)}4\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)}hf(h)=\sqrt{4+\{f(b)\}^2}$이므로, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=b$에서 미분가능하다. 따라서, 함수 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.또한, $\displaystyle f^{\prime}(\ln2)=\sqrt{4+\{f(\ln2)\}^2}=\sqrt{4+\dfrac94}=\dfrac52$이다.

【1-3】 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 문제 【1-2】풀이에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{4+\{f(x)\}^2}$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle \int_0^{\ln2}\{f^{\prime}(x)\}^2\,dx=\int_0^{\ln2}\sqrt{4+\{f(x)\}^2}f^{\prime}(x)\,dx$이다.부분적분을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\ln2}\sqrt{4+\{f(x)\}^2}f^{\prime}(x)\,dx&=\Biggl[\sqrt{4+\{f(x)\}^2}f(x)\Biggr]_0^{\ln2}-\int_0^{\ln2}\dfrac{\{f(x)\}^2}{\sqrt{4+\{f(x)\}^2}}f^{\prime}(x)\,dx\\&=\dfrac{15}4-\int_0^{\ln2}\sqrt{4+\{f(x)\}^2}f^{\prime}(x)\,dx+\int_0^{\ln2}\dfrac4{\sqrt{4+\{f(x)\}^2}}f^{\prime}(x)\,dx\end{aligned}$이므로,$\displaystyle \int_0^{\ln2}\{f^{\prime}(x)\}^2\,dx=\int_0^{\ln2}\sqrt{4+\{f(x)\}^2}f^{\prime}(x)\,dx=\dfrac{15}8+2\int_0^{\ln2}\dfrac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{4+\{f(x)\}^2}}\,dx=\dfrac{15}8+2\int_0^{\ln2}1\,dx=\dfrac{15}8+2\ln2$이다.