자연계열 II 2번

경북대 2025학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2025su/jayeon2_2

(가) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle x$ 인 점을 지나고 $\displaystyle x$ 축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$ 인 입체도형의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V=\int_a^bS(x)\,dx$

(나) 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 와 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx$

(다) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$ 가 $\displaystyle a=g(\alpha)$ , $\displaystyle b=g(\beta)$ 일 때, $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 를 포함하는 구간에서 연속이면 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

(라) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 의 길이 $\displaystyle l$ 은 $\displaystyle l=\int_a^b\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}\,dx$

$\displaystyle 3$ 이상인 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 밑면은 꼭짓점이 $\displaystyle \mathrm A_1$ , $\displaystyle \mathrm A_2$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle \mathrm A_n$ 인 정 $\displaystyle n$ 각형이고 밑면에 놓여 있지 않은 점 $\displaystyle \mathrm Q$ 를 꼭짓점으로 가지는 뿔처럼 생긴 입체도형 $\displaystyle D$ 가 아래 조건을 만족시킨다.

(Ⅰ) 밑면은 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 원 $\displaystyle C$ 에 내접한다.

(Ⅱ) 밑면 내부에 고정된 한 점 $\displaystyle \mathrm P$ 에 대해, 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 는 밑면에 수직이고, 그 길이는 $\displaystyle \dfrac12$ 이다.

(Ⅲ) 밑면의 변 위의 각 점 $\displaystyle \mathrm R$ 에 대해 선분 $\displaystyle \mathrm{RP}$ 의 길이를 $\displaystyle a$ 라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 과 $\displaystyle D$ 가 만나는 영역은 직선 $\displaystyle \mathrm{RP}$ 를 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle \mathrm R$ 을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 와 평행한 직선을 $\displaystyle y$ 축으로 할 때, $\displaystyle x$ 축, 직선 $\displaystyle x=a$ , 곡선 $\displaystyle y=\dfrac{x^2}{2a^2}$ 에 둘러싸인 영역과 같다.

입체도형의 수직 단면에서 포물선 y=x²/(2a²) 아래 회색 영역의 원본 그림

다음 물음에 답하시오.

【2-1】 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm H$ 를 지나고 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 에 수직인 평면으로 입체도형 $\displaystyle D$ 를 잘라내어 얻은 두 개의 입체도형 중, 점 $\displaystyle \mathrm P$ 를 포함하는 입체도형의 부피를 $\displaystyle V$ 라 하자. (단, 선분 $\displaystyle \mathrm{PH}$ 의 길이는 $\displaystyle h$ 이고 $\displaystyle 0<h<\dfrac12$ )

(1) $\displaystyle V$ 를 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle h$ 에 관한 식으로 나타내시오. (30점)

(2) $\displaystyle h=\dfrac14$ 일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}V$ 의 값을 구하시오. (20점)

【2-2】 $\displaystyle 0\le x\le t$ 에서 곡선 $\displaystyle y=\dfrac{x^2}{2k^2}$ 의 길이를 $\displaystyle f(t)$ 라 할 때, $\displaystyle S(k)=\dfrac2k\sin\dfrac\pi n\int_0^{f(k)}\{k-f^{-1}(s)\}\,ds$ 라 하자. (단, $\displaystyle k$ 는 양수)

(1) $\displaystyle n=6$ 일 때, $\displaystyle S(\sqrt3)$ 의 값을 구하시오. (40점)

(2) $\displaystyle \left(\sin\dfrac\pi n\right)\lim_{k\to0^+}\dfrac1{S(k)}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \lim_{k\to0^+}k\ln k=0$ )(20점)

(3) $\displaystyle 1\le i\le n$ 인 자연수 $\displaystyle i$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm P$ 와 직선 $\displaystyle \mathrm A_i\mathrm A_{i+1}$ 사이의 거리를 $\displaystyle a_i$ 라 하고, $\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^nS(a_i)$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm P$ 가 원 $\displaystyle C$ 의 중심일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle \mathrm A_{n+1}$ 은 $\displaystyle \mathrm A_1$ ) (20점)

해설강의 준비중

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+10점 · 높이가

\displaystyle t

인 단면과 밑면의 닮음비가

\displaystyle 1:1-\sqrt{2t}

임을 관찰한 경우 +10점 · 닮음비를 이용하여 부피의 적분식을 올바르게 표현한 경우 (피적분함수만 올바르게 표현한 경우 부분점수 5점) +10점 · 부피를 올바르게 계산한 경우

【2-1】 (1) 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 위에 있고 점 $\displaystyle \mathrm P$ 에서의 거리가 $\displaystyle h$ 인 점을 $\displaystyle \mathrm H$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm H$ 를 지나고 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 에 수직인 평면과 곡선 $\displaystyle \mathrm Q\mathrm A_i$ 와의 교점을 $\displaystyle \mathrm B_i$ 라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm P\mathrm A_i\mathrm A_{i+1}$ 와 삼각형 $\displaystyle \mathrm H\mathrm B_i\mathrm B_{i+1}$ 는 닮음비 $\displaystyle 1:(1-\sqrt{2y})$ 이고 $\displaystyle (\mathrm H\mathrm B_i\mathrm B_{i+1}\text{의 넓이})=(1-\sqrt{2y})^2\times(\mathrm P\mathrm A_i\mathrm A_{i+1}\text{의 넓이})$ 이다. 따라서(단면의 넓이) $\displaystyle =(1-\sqrt{2y})^2\times$ (밑면의 넓이) $\displaystyle =(1-\sqrt{2y})^2\dfrac n2\sin\dfrac{2\pi}n$ 이고 제시문(가)에 의해 $\displaystyle V=\int_0^h\left((1-\sqrt{2y})^2\dfrac n2\sin\dfrac{2\pi}n\right)\,dy=\dfrac n2\sin\dfrac{2\pi}n\left(h+h^2-\dfrac{4\sqrt2h^{\frac32}}3\right)=n\sin\dfrac{2\pi}n\left(\dfrac h2+\dfrac{h^2}2-\dfrac{2\sqrt2h^{\frac32}}3\right)$

+5점 ·

\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\sin\dfrac\pi n=\pi

임을 사용한 경우 +15점 · 극한값을 올바르게 계산한 경우 (단순 계산 실수의 경우 부분점수 5 ~ 10점)

(2) $\displaystyle h=\dfrac14$ 이면 $\displaystyle V=n\sin\dfrac{2\pi}n\left(\dfrac5{32}-\dfrac{\sqrt2}{12}\right)$ 이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}V=\pi\left(\dfrac5{16}-\dfrac{\sqrt2}6\right)$ .

+10점 · 치환적분(

\displaystyle s=f(t)

)을 올바르게 사용한 경우 +10점 · 치환적분(

\displaystyle x=a^2\tan\theta

등)을 올바르게 사용한 경우

Correction. 채점기준의 치환식 $\displaystyle x=a^2\tan\theta$ 에서 $\displaystyle a^2$ 은 $\displaystyle k^2$ 의 오기이다. 예시답안의 적분변수 $\displaystyle t$ 로 쓰면 $\displaystyle t=k^2\tan\theta$ 이며, 이때 $\displaystyle \sqrt{1+\frac{t^2}{k^4}}=\sec\theta$ 가 된다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

+10점 · 두 적분항

\displaystyle \int_0^k\sqrt{1+\dfrac{t^2}{k^4}}\,dt

과

\displaystyle \int_0^k\dfrac tk\sqrt{1+\dfrac{t^2}{k^4}}\,dt

중 하나를 올바르게 계산한 경우 +10점 · 답을 올바르게 계산한 경우

【2-2】 (1) 제시문 (라)에 의해 $\displaystyle f(t)=\int_0^t\sqrt{1+\dfrac{x^2}{k^4}}\,dx$ 이고, 주어진 적분에서 $\displaystyle s=f(t)$ 로 치환하면 제시문 (다)에 의해, $\displaystyle S(k)=\dfrac2k\sin\dfrac\pi n\int_0^{f(k)}\{k-f^{-1}(s)\}\,ds=2\sin\dfrac\pi n\int_0^k\left(1-\dfrac tk\right)\sqrt{1+\dfrac{t^2}{k^4}}\,dt$ 제시문 (나)와 (다)에 의해 $\displaystyle t$ 를 $\displaystyle k^2\tan\theta$ 로 치환하면 $\displaystyle \tan\alpha=\dfrac1k$ 를 만족시키는 $\displaystyle 0<\alpha<\dfrac\pi2$ 에 대해, $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^k\sqrt{1+\dfrac{t^2}{k^4}}\,dt&=\int_0^\alpha k^2\sec^3\theta\,d\theta=k^2\Biggl[\dfrac{\ln|\sec\theta+\tan\theta|+\sec\theta\tan\theta}2\Biggr]_0^\alpha\\&=\dfrac{k^2}2\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{1+k^2}}k\right)+\dfrac{\sqrt{1+k^2}}2\end{aligned}$ $\displaystyle \int_0^k\dfrac tk\sqrt{1+\dfrac{t^2}{k^4}}\,dt=\Biggl[\dfrac{k^3}3\left(1+\dfrac{x^2}{k^4}\right)^{\frac32}\Biggr]_0^k=\dfrac{(1+k^2)^{\frac32}-k^3}3$ 따라서, $\displaystyle S(k)=\sin\dfrac\pi n\left(k^2\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{1+k^2}}k\right)+\sqrt{1+k^2}-\dfrac{2(1+k^2)^{\frac32}}3+\dfrac{2k^3}3\right)$ 이고 $\displaystyle n=6$ , $\displaystyle k=\sqrt3$ 이면 $\displaystyle S(\sqrt3)=\dfrac{3\ln3}4+\sqrt3-\dfrac53$ .

+10점 ·

\displaystyle \lim_{k\to0^+}k\ln k=0

을 올바르게 사용한 경우 +10점 · 답을 올바르게 계산한 경우

(2) $\displaystyle \lim_{k\to0^+}k\ln k=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{k\to0^+}S(k)=\sin\dfrac\pi n\lim_{k\to0^+}\left(k^2(\ln(1+\sqrt{1+k^2})-\ln k)+\sqrt{1+k^2}-\dfrac{2(1+k^2)^{\frac32}}3+\dfrac{2k^3}3\right)=\dfrac13\sin\dfrac\pi n$ 따라서 $\displaystyle \left(\sin\dfrac\pi n\right)\lim_{k\to0^+}\dfrac1{S(k)}=3$ .

+5점 ·

\displaystyle a_1=a_2=\cdots=a_n=\cos\dfrac\pi n

임을 관찰한 경우 +5점 ·

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos\dfrac\pi n=1

을 올바르게 사용한 경우 +10점 · 답을 올바르게 계산한 경우

(3) $\displaystyle r=0$ 이므로 $\displaystyle a_1=\cdots=a_n=\cos\dfrac\pi n$ 이므로 $\displaystyle a=\cos\dfrac\pi n$ 라 하면Comment. 여기서 $\displaystyle r$ 은 점 $\displaystyle \mathrm P$ 와 원 $\displaystyle C$ 의 중심 사이의 거리로 읽으면 된다. $\displaystyle T_n=nS(a)=n\sin\dfrac\pi n\left(a^2\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{1+a^2}}a\right)+\sqrt{1+a^2}-\dfrac{2(1+a^2)^{\frac32}}3+\dfrac{2a^3}3\right)$ . 또한 $\displaystyle n\to\infty$ 일 때 $\displaystyle a\to1$ 이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_n=\left(\lim_{n\to\infty}n\sin\dfrac\pi n\right)\times\left(\ln(1+\sqrt2)-\dfrac{\sqrt2}3+\dfrac23\right)=\pi\left(\ln(1+\sqrt2)-\dfrac{\sqrt2}3+\dfrac23\right)$ .

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