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자연계열 I 2번

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경북대 2025학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2025su/jayeon1_2

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(가) 탄젠트함수의 덧셈정리tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}

(나) 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)과 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 (a≠0\displaystyle a\ne0 또는 b≠0\displaystyle b\ne0) 사이의 거리 d\displaystyle d는d=∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(다) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 미분가능할 때,{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)

(라) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x) (g(x)≠0\displaystyle g(x)\ne0)가 미분가능할 때,y=f(x)g(x)\displaystyle y=\dfrac{f(x)}{g(x)}이면 y′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\displaystyle y^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}

(마) 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)가 미분가능할 때,합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는{f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

곡선 y=8x+16\displaystyle y=\sqrt{8x+16} 위의 점 B(t,8t+16)\displaystyle \mathrm B(t,\sqrt{8t+16})에 대하여 x\displaystyle x축 위의 세 점 A1(a1,0)\displaystyle \mathrm A_1(a_1,0), A2(a2,0)\displaystyle \mathrm A_2(a_2,0), A3(a3,0)\displaystyle \mathrm A_3(a_3,0)이 다음 조건을 만족한다. (단, t≥−1\displaystyle t\ge-1)

(Ⅰ) 0<a1<a2<a3\displaystyle 0<a_1<a_2<a_3

(Ⅱ) 삼각형 OA1B\displaystyle \mathrm O\mathrm A_1\mathrm B, A1A2B\displaystyle \mathrm A_1\mathrm A_2\mathrm B, A2A3B\displaystyle \mathrm A_2\mathrm A_3\mathrm B의 내접원의 반지름의 길이는 모두 1\displaystyle 1이다. (단, O\displaystyle \mathrm O는 원점)

실수 t≥−1\displaystyle t\ge-1에서 정의된 함수f(t)=tan⁡(∠OA1B2)\displaystyle f(t)=\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_1\mathrm B}2\right)g(t)=tan⁡(∠OA2B2)\displaystyle g(t)=\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)h(t)=tan⁡(∠OA3B2)\displaystyle h(t)=\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_3\mathrm B}2\right)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

【2-1】 내접원의 반지름의 길이가 r\displaystyle r, 높이가 q\displaystyle q이고 양 밑각이 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta인 삼각형의 넓이 S\displaystyle S에 대하여 다음이 각각 성립함을 보이시오. (40점)

(1) S=rq2{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)}\displaystyle S=\dfrac{rq}2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}

(2) S=r2{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)+cot⁡(α2)+cot⁡(β2)cot⁡(α2)cot⁡(β2)−1}\displaystyle S=r^2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)+\dfrac{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)}{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)\cot\left(\dfrac\beta2\right)-1}\right\}

【2-2】 −1\displaystyle -1 이상인 모든 실수 t\displaystyle t에 대하여 g(t)f(t)=h(t)g(t)\displaystyle \dfrac{g(t)}{f(t)}=\dfrac{h(t)}{g(t)}임을 보이시오. (40점)

【2-3】 h′(0)\displaystyle h^{\prime}(0)의 값을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2025학년도 수시 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2025su/jayeon1_2

+20점 · 탄젠트 정리를 이용하여 삼각형의 넓이를 올바르게 유도한 경우

【2-1】 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}를 밑변으로 가지고 높이가 q\displaystyle q인 삼각형 ABC\displaystyle \mathrm{ABC}에 내접하는 원의 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원의 중심을 D\displaystyle \mathrm D라고 하고 D\displaystyle \mathrm D에서 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}, BC\displaystyle \mathrm{BC}, CA\displaystyle \mathrm{CA}에 내린 수선의 발을 P\displaystyle \mathrm P, Q\displaystyle \mathrm Q, R\displaystyle \mathrm R이라고 하자. ∠A=α\displaystyle \angle A=\alpha, ∠B=β\displaystyle \angle B=\beta, ∠C=γ\displaystyle \angle C=\gamma라고 하면 탄젠트 정의에 의해 tan⁡(α2)=DP‾AP‾\displaystyle \tan\left(\dfrac\alpha2\right)=\dfrac{\overline{\mathrm{DP}}}{\overline{\mathrm{AP}}}이고 tan⁡(β2)=DP‾BP‾\displaystyle \tan\left(\dfrac\beta2\right)=\dfrac{\overline{\mathrm{DP}}}{\overline{\mathrm{BP}}}이므로 AP‾=rcot⁡(α2)\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=r\cot\left(\dfrac\alpha2\right)이고 BP‾=rcot⁡(β2)\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=r\cot\left(\dfrac\beta2\right)이다. 그러면AB‾=AP‾+PB‾=r{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)}\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}=r\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\} -------(*)그러므로 삼각형의 넓이는 S=12×\displaystyle S=\dfrac12\times밑변의 길이×\displaystyle \times높이=q2AB‾=rq2{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)}\displaystyle =\dfrac q2\overline{\mathrm{AB}}=\dfrac{rq}2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}이다. 즉, (i)가 성립한다.

+20점 · 세변의 합과 내접원의 반지름을 이용하여 삼각형의 넓이를 올바르게 유도한 경우

한편 (*)에 의해 AB‾+BC‾+CA‾=2r{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)+cot⁡(γ2)}\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}}=2r\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)+\cot\left(\dfrac\gamma2\right)\right\}이므로 삼각형의 넓이는 다음과 같다.S=12(AB‾+BC‾+CA‾)r=r2{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)+cot⁡(γ2)}\displaystyle S=\dfrac12(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}})r=r^2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)+\cot\left(\dfrac\gamma2\right)\right\} ------(**)γ=π−(α+β)\displaystyle \gamma=\pi-(\alpha+\beta)이므로 제시문 (가)에 의해cot⁡(γ2)=cot⁡(π−(α+β)2)=tan⁡(α+β2)=tan⁡(α2)+tan⁡(β2)1−tan⁡(α2)tan⁡(β2)\displaystyle \cot\left(\dfrac\gamma2\right)=\cot\left(\dfrac{\pi-(\alpha+\beta)}2\right)=\tan\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)=\dfrac{\tan\left(\dfrac\alpha2\right)+\tan\left(\dfrac\beta2\right)}{1-\tan\left(\dfrac\alpha2\right)\tan\left(\dfrac\beta2\right)}우변의 분모, 분자를 tan⁡(α2)tan⁡(β2)\displaystyle \tan\left(\dfrac\alpha2\right)\tan\left(\dfrac\beta2\right)로 나누면 cot⁡(γ2)=cot⁡(α2)+cot⁡(β2)cot⁡(α2)cot⁡(β2)−1\displaystyle \cot\left(\dfrac\gamma2\right)=\dfrac{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)}{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)\cot\left(\dfrac\beta2\right)-1}이므로 (**)에 대입하면 (ii)가 성립한다.

+20점 · [2-1] 넓이 공식을 이용하여 양 끝각과 내접원의 반지름 및 높이에 관한 등식을 올바르게 유도한 경우

【2-2】 (i)와 (ii)에 의해 rq2{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)}=r2{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)+cot⁡(α2)+cot⁡(β2)cot⁡(α2)cot⁡(β2)−1}\displaystyle \dfrac{rq}2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}=r^2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)+\dfrac{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)}{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)\cot\left(\dfrac\beta2\right)-1}\right\}이다.r{cot⁡(α2)+cot⁡(β2)}≠0\displaystyle r\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}\ne0로 양변을 나누면 q2=r{1+1cot⁡(α2)cot⁡(β2)−1}\displaystyle \dfrac q2=r\left\{1+\dfrac1{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)\cot\left(\dfrac\beta2\right)-1}\right\}이므로tan⁡(α2)tan⁡(β2)=1−2rq\displaystyle \tan\left(\dfrac\alpha2\right)\tan\left(\dfrac\beta2\right)=1-\dfrac{2r}q ----------(***)

+20점 · 3개의 내접원에 대하여 등식을 유도하여 g(t)f(t)\displaystyle \dfrac{g(t)}{f(t)}와 h(t)g(t)\displaystyle \dfrac{h(t)}{g(t)}를 올바르게 유도한 경우

그러면 삼각형 A1A2B\displaystyle \mathrm A_1\mathrm A_2\mathrm B와 A2A3B\displaystyle \mathrm A_2\mathrm A_3\mathrm B는 (***)에 의하여 다음이 성립한다.tan⁡(π−∠OA1B2)tan⁡(∠OA2B2)=tan⁡(π−∠OA2B2)tan⁡(∠OA3B2)=1−28t+16\displaystyle \tan\left(\dfrac{\pi-\angle\mathrm O\mathrm A_1\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)=\tan\left(\dfrac{\pi-\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_3\mathrm B}2\right)=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}그러면 cot⁡(∠OA1B2)tan⁡(∠OA2B2)=cot⁡(∠OA2B2)tan⁡(∠OA3B2)=1−28t+16\displaystyle \cot\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_1\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)=\cot\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_3\mathrm B}2\right)=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}이다. 즉,g(t)f(t)=h(t)g(t)=1−28t+16\displaystyle \dfrac{g(t)}{f(t)}=\dfrac{h(t)}{g(t)}=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}} ----------(****)

+15점 · tan⁡(∠A1OB2)=2t+2\displaystyle \tan\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)=\sqrt{\dfrac2{t+2}}를 올바르게 유도한 경우

【2-3】 원점 O\displaystyle \mathrm O와 B(t,8t+16)\displaystyle \mathrm B(t,\sqrt{8t+16})을 지나는 직선의 방정식은 8t+16x−ty=0\displaystyle \sqrt{8t+16}x-ty=0이다. 삼각형 OA1B\displaystyle \mathrm O\mathrm A_1\mathrm B에 내접하는 원의 중심을 (m,1)\displaystyle (m,1)이라고 하면 원점 O\displaystyle \mathrm O와 B(t,8t+16)\displaystyle \mathrm B(t,\sqrt{8t+16})을 지나는 직선의 방정식 8t+16x−ty=0\displaystyle \sqrt{8t+16}x-ty=0과 (m,1)\displaystyle (m,1)와의 거리는 제시문 (나)에 의해∣m8t+16−t∣t2+8t+16=1\displaystyle \dfrac{|m\sqrt{8t+16}-t|}{\sqrt{t^2+8t+16}}=1이고 내접원의 중심은 1사분면에 있으므로 m=2t+48t+16=t+22\displaystyle m=\dfrac{2t+4}{\sqrt{8t+16}}=\sqrt{\dfrac{t+2}2}이다. 그러면tan⁡(∠A1OB2)=1m=2t+2\displaystyle \tan\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)=\dfrac1m=\sqrt{\dfrac2{t+2}}

+15점 · h(t)\displaystyle h(t)를 올바르게 유도한 경우

그러므로 (***)에 의해 tan⁡(∠A1OB2)f(t)=1−28t+16\displaystyle \tan\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)f(t)=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}이고 (****)에 의해h(t)=cot⁡(∠A1OB2)(1−28t+16)3=t+22(1−28t+16)3\displaystyle h(t)=\cot\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^3=\sqrt{\dfrac{t+2}2}\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^3

+20점 · h′(0)\displaystyle h^{\prime}(0)을 올바르게 계산한 경우

제시문 (다), (라), (마)를 이용하여 h′(t)\displaystyle h^{\prime}(t)를 계산하면h′(t)=1221t+2(1−28t+16)3+24t+22(1−28t+16)2(8t+16)−32\displaystyle h^{\prime}(t)=\dfrac1{2\sqrt2}\dfrac1{\sqrt{t+2}}\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^3+24\sqrt{\dfrac{t+2}2}\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^2(8t+16)^{-\frac32}이므로 h′(0)=18\displaystyle h^{\prime}(0)=\dfrac18

[별해]【2-3】 tan⁡(∠A1OB2)=2t+2\displaystyle \tan\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)=\sqrt{\dfrac2{t+2}} 구하는 다른 방법은 다음과 같다. θ=∠A1OB2\displaystyle \theta=\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2라 하면 탄젠트 함수의 덧셈정리에 의해 tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\displaystyle \tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}이다. tan⁡2θ=8t+16t\displaystyle \tan2\theta=\dfrac{\sqrt{8t+16}}t이고 tan⁡θ>0\displaystyle \tan\theta>0이므로 tan⁡θ=2t+2\displaystyle \tan\theta=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{t+2}}이다.

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