자연계열 I 2번

【2-1】 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 밑변으로 가지고 높이가 $\displaystyle q$인 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에 내접하는 원의 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원의 중심을 $\displaystyle \mathrm D$라고 하고 $\displaystyle \mathrm D$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$, $\displaystyle \mathrm{BC}$, $\displaystyle \mathrm{CA}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm P$, $\displaystyle \mathrm Q$, $\displaystyle \mathrm R$이라고 하자. $\displaystyle \angle A=\alpha$, $\displaystyle \angle B=\beta$, $\displaystyle \angle C=\gamma$라고 하면 탄젠트 정의에 의해 $\displaystyle \tan\left(\dfrac\alpha2\right)=\dfrac{\overline{\mathrm{DP}}}{\overline{\mathrm{AP}}}$이고 $\displaystyle \tan\left(\dfrac\beta2\right)=\dfrac{\overline{\mathrm{DP}}}{\overline{\mathrm{BP}}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=r\cot\left(\dfrac\alpha2\right)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=r\cot\left(\dfrac\beta2\right)$이다. 그러면$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}=r\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}$ -------(*)그러므로 삼각형의 넓이는 $\displaystyle S=\dfrac12\times$밑변의 길이$\displaystyle \times$높이$\displaystyle =\dfrac q2\overline{\mathrm{AB}}=\dfrac{rq}2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}$이다. 즉, (i)가 성립한다.한편 (*)에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}}=2r\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)+\cot\left(\dfrac\gamma2\right)\right\}$이므로 삼각형의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle S=\dfrac12(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}})r=r^2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)+\cot\left(\dfrac\gamma2\right)\right\}$ ------(**)$\displaystyle \gamma=\pi-(\alpha+\beta)$이므로 제시문 (가)에 의해$\displaystyle \cot\left(\dfrac\gamma2\right)=\cot\left(\dfrac{\pi-(\alpha+\beta)}2\right)=\tan\left(\dfrac{\alpha+\beta}2\right)=\dfrac{\tan\left(\dfrac\alpha2\right)+\tan\left(\dfrac\beta2\right)}{1-\tan\left(\dfrac\alpha2\right)\tan\left(\dfrac\beta2\right)}$우변의 분모, 분자를 $\displaystyle \tan\left(\dfrac\alpha2\right)\tan\left(\dfrac\beta2\right)$로 나누면 $\displaystyle \cot\left(\dfrac\gamma2\right)=\dfrac{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)}{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)\cot\left(\dfrac\beta2\right)-1}$이므로 (**)에 대입하면 (ii)가 성립한다.

【2-2】 (i)와 (ii)에 의해 $\displaystyle \dfrac{rq}2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}=r^2\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)+\dfrac{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)}{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)\cot\left(\dfrac\beta2\right)-1}\right\}$이다.$\displaystyle r\left\{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)+\cot\left(\dfrac\beta2\right)\right\}\ne0$로 양변을 나누면 $\displaystyle \dfrac q2=r\left\{1+\dfrac1{\cot\left(\dfrac\alpha2\right)\cot\left(\dfrac\beta2\right)-1}\right\}$이므로$\displaystyle \tan\left(\dfrac\alpha2\right)\tan\left(\dfrac\beta2\right)=1-\dfrac{2r}q$ ----------(***)그러면 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm A_2\mathrm B$와 $\displaystyle \mathrm A_2\mathrm A_3\mathrm B$는 (***)에 의하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \tan\left(\dfrac{\pi-\angle\mathrm O\mathrm A_1\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)=\tan\left(\dfrac{\pi-\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_3\mathrm B}2\right)=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}$그러면 $\displaystyle \cot\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_1\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)=\cot\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_2\mathrm B}2\right)\tan\left(\dfrac{\angle\mathrm O\mathrm A_3\mathrm B}2\right)=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}$이다. 즉,$\displaystyle \dfrac{g(t)}{f(t)}=\dfrac{h(t)}{g(t)}=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}$ ----------(****)

【2-3】 원점 $\displaystyle \mathrm O$와 $\displaystyle \mathrm B(t,\sqrt{8t+16})$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle \sqrt{8t+16}x-ty=0$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm O\mathrm A_1\mathrm B$에 내접하는 원의 중심을 $\displaystyle (m,1)$이라고 하면 원점 $\displaystyle \mathrm O$와 $\displaystyle \mathrm B(t,\sqrt{8t+16})$을 지나는 직선의 방정식 $\displaystyle \sqrt{8t+16}x-ty=0$과 $\displaystyle (m,1)$와의 거리는 제시문 (나)에 의해$\displaystyle \dfrac{|m\sqrt{8t+16}-t|}{\sqrt{t^2+8t+16}}=1$이고 내접원의 중심은 1사분면에 있으므로 $\displaystyle m=\dfrac{2t+4}{\sqrt{8t+16}}=\sqrt{\dfrac{t+2}2}$이다. 그러면$\displaystyle \tan\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)=\dfrac1m=\sqrt{\dfrac2{t+2}}$그러므로 (***)에 의해 $\displaystyle \tan\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)f(t)=1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}$이고 (****)에 의해$\displaystyle h(t)=\cot\left(\dfrac{\angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B}2\right)\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^3=\sqrt{\dfrac{t+2}2}\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^3$제시문 (다), (라), (마)를 이용하여 $\displaystyle h^{\prime}(t)$를 계산하면$\displaystyle h^{\prime}(t)=\dfrac1{2\sqrt2}\dfrac1{\sqrt{t+2}}\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^3+24\sqrt{\dfrac{t+2}2}\left(1-\dfrac2{\sqrt{8t+16}}\right)^2(8t+16)^{-\frac32}$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(0)=\dfrac18$