수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 1번

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경북대 2026학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon2_1

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문제

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)위의 점 P(a,f(a))\displaystyle \mathrm P(a,f(a))에서의 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)

(나) 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는{f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)

(다) 이계도함수를 갖는 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0일 때 f′′(a)>0\displaystyle f^{\prime\prime}(a)>0 (f′′(a)<0\displaystyle f^{\prime\prime}(a)<0)이면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소(극대)이다.

(라) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가, a=g(α)\displaystyle a=g(\alpha), b=g(β)\displaystyle b=g(\beta)일 때 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt

(마) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)에 대하여∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

삼차함수 f(x)=x3−ax2+a\displaystyle f(x)=x^3-ax^2+a에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수g(x)=ef(x)−x+b(x−1)2\displaystyle g(x)=e^{f(x)-x}+b(x-1)^2이 다음 조건을 만족시킨다.

(ⅰ) x=1\displaystyle x=1에서 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 접선의 방정식은 y=1\displaystyle y=1이다.

(ⅱ) 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 역함수 h(x)\displaystyle h(x)를 가진다.

다음 물음에 답하시오. (단, a,b\displaystyle a,b는 실수이다.)

【1-1】 실수 a\displaystyle a의 값을 구하시오. (20점)

【1-2】 g′(0)=pe+q\displaystyle g^{\prime}(0)=pe+q라 할 때, 정수 p,q\displaystyle p,q의 값을 구하시오. (60점)

【1-3】 ∫−10g(x)eg(x)×h′(g(x)) dx=(e2−e3)e−e+α\displaystyle \int_{-1}^0\dfrac{g(x)}{e^{g(x)}\times h^{\prime}(g(x))}\,dx=(e^2-e^3)e^{-e}+\alpha일 때, 실수 α\displaystyle \alpha의 값을 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2026학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon2_1

+15점 · 미분계수 f′(1)\displaystyle f^{\prime}(1)의 값을 올바르게 구하였으면

【1-1】 제시문 (가)와 (나)를 이용하면, x=1\displaystyle x=1에서 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 접선의 방정식이 y=1\displaystyle y=1이므로 x=1\displaystyle x=1에서 미분계수는 g′(1)=0\displaystyle g^{\prime}(1)=0이다. 따라서, ef(1)−1(f′(1)−1)=0⇒f′(1)=1\displaystyle e^{f(1)-1}(f^{\prime}(1)-1)=0\Rightarrow f^{\prime}(1)=1이다.

+5점 · a\displaystyle a의 값을 올바르게 구하였으면

즉, 3×(1)2−2a=1\displaystyle 3\times(1)^2-2a=1이므로 a=1\displaystyle a=1이다.

+35점 · 제시문을 이용하여 g′′(1)=0\displaystyle g^{\prime\prime}(1)=0임을 옳게 설명하였으면

【1-2】 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 역함수를 가지므로 실수 전체 집합에서 단조증가이다. 그리고 조건으로부터 g′(1)=0\displaystyle g^{\prime}(1)=0이다. 그러므로 제시문 (다)로부터 g′′(1)=0\displaystyle g^{\prime\prime}(1)=0이다.제시문 (나)를 이용하면 g′′(x)=ef(x)−x(f′(x)−1)2+ef(x)−xf′′(x)+2b\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=e^{f(x)-x}(f^{\prime}(x)-1)^2+e^{f(x)-x}f^{\prime\prime}(x)+2b이다.

+15점 · b\displaystyle b의 값을 올바르게 구하였으면

따라서, g′′(1)=f′(1)−1+f′′(1)+2b=0⇒b=−2\displaystyle g^{\prime\prime}(1)=f^{\prime}(1)-1+f^{\prime\prime}(1)+2b=0\Rightarrow b=-2이다.

+10점 · p,q\displaystyle p,q의 값을 올바르게 구하였으면

이로부터 g′(0)=ef(0)(f′(0)−1)−4×(0−1)=−e+4\displaystyle g^{\prime}(0)=e^{f(0)}(f^{\prime}(0)-1)-4\times(0-1)=-e+4이므로 p=−1\displaystyle p=-1, q=4\displaystyle q=4이다.

+30점 · 준식=∫−10g(x)eg(x)×h′(g(x)) dx=∫−10g(x)eg(x)g′(x) dx=∫−7e−2te−t dt\displaystyle \int_{-1}^0\dfrac{g(x)}{e^{g(x)}\times h^{\prime}(g(x))}\,dx=\int_{-1}^0\dfrac{g(x)}{e^{g(x)}}g^{\prime}(x)\,dx=\int_{-7}^{e-2}te^{-t}\,dt으로 올바르게 치환하였으면

【1-3】 제시문 (라), (마)를 이용하면, h(x)\displaystyle h(x)는 g(x)\displaystyle g(x)의 역함수이므로 h(g(x))=x\displaystyle h(g(x))=x이므로 h′(g(x))g′(x)=1\displaystyle h^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=1이다. 따라서,∫−10g(x)eg(x)×h′(g(x)) dx=∫−10g(x)eg(x)g′(x) dx=∫−7e−2te−t dt=[−te−t−e−t]−7e−2=−(e−1)e−e+2−8e−7\displaystyle \int_{-1}^0\dfrac{g(x)}{e^{g(x)}\times h^{\prime}(g(x))}\,dx=\int_{-1}^0\dfrac{g(x)}{e^{g(x)}}g^{\prime}(x)\,dx=\int_{-7}^{e-2}te^{-t}\,dt=\Biggl[-te^{-t}-e^{-t}\Biggr]_{-7}^{e-2}=-(e-1)e^{-e+2}-8e^{-7}이다.

+10점 · α\displaystyle \alpha의 값을 올바르게 구하였으면

따라서, α=−8e−7\displaystyle \alpha=-8e^{-7}이다.

Correction. 원시함수에 하한 −7\displaystyle -7을 대입한 항의 −8e−7\displaystyle -8e^{-7}은 −6e7\displaystyle -6e^7의 오기이다. 따라서 마지막 식의 α=−8e−7\displaystyle \alpha=-8e^{-7}도 α=−6e7\displaystyle \alpha=-6e^7의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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