자연계열 II 2번

【2-1】 $\displaystyle 0\le x\le1$일 때 $\displaystyle 0\le F^{\prime}(x)\le1$이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0\le\{F^{\prime}(x)\}^n\le\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\le1$이 성립한다. 이를 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 적분하면$\displaystyle 0\le\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\le\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx$이다. 이 부등식에 $\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx$와 $\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx$를 곱하면 문제의 부등식이 성립한다.

【2-2】 제시문 (마)에 $\displaystyle f(x)=\{F^{\prime}(x)\}^n$, $\displaystyle g(x)=F(x)$라 하자. 그러면,$\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^n\cdot\{F^{\prime}(x)\}\,dx=\Biggl[\{F^{\prime}(x)\}^nF(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1[n\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}F^{\prime\prime}(x)]\cdot\{F(x)\}\,dx$그리고 $\displaystyle F(1)=F^{\prime}(0)=0\Rightarrow\Biggl[\{F^{\prime}(x)\}^nF(x)\Biggr]_0^1=0$이다. 한편, $\displaystyle -F(x)F^{\prime\prime}(x)=1-\{F^{\prime}(x)\}^2$을 이용하면,$\displaystyle -\int_0^1[n\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}F^{\prime\prime}(x)]\cdot\{F(x)\}\,dx=n\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}[1-\{F^{\prime}(x)\}^2]\,dx$.식을 대입하여 정리하면 $\displaystyle p=1,q=1,r=0$이다.

【2-3】 $\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{0}\,dx=\int_0^11\,dx=1$이고 $\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{1}\,dx=F(1)-F(0)=-F(0)$이므로 $\displaystyle n=1$일 때$\displaystyle [\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{0}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{1}\,dx]=-F(0)=\dfrac{-F(0)}1$가 성립한다. 만약 $\displaystyle n=k$일 때$\displaystyle [\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k-1}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k}\,dx]=\dfrac{-F(0)}k$가 성립하면, $\displaystyle n=k+1$일 때는【2-2】의 등식에 의해$\displaystyle \begin{aligned}[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k+1}\,dx]&=[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k-1}\,dx]\cdot\dfrac{\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k+1}\,dx}{\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k-1}\,dx}\\&=\dfrac{-F(0)}k\cdot\dfrac k{k+1}=\dfrac{-F(0)}{k+1}\end{aligned}$이므로 제시문 (다)에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 위 등식이 성립한다. 따라서 $\displaystyle a=b=0$이고 $\displaystyle c=-1$이다.

【2-4】 【2-1】과【2-3】의 결과를 이용하면, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식$\displaystyle -\dfrac{F(0)}{n+1}\le\left(\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\right)^2\le\dfrac{-F(0)}n$이 성립한다. 따라서,$\displaystyle n^{\alpha-\frac12}\sqrt{\{-F(0)\}\cdot\dfrac n{n+1}}\le n^\alpha\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\le n^{\alpha-\frac12}\sqrt{-F(0)}$단, 조건 (ⅰ), (ⅲ)로부터 $\displaystyle F(0)\ne0$이므로 $\displaystyle \sqrt{-F(0)}>0$이다. 제시문 (라)에 의해 $\displaystyle \alpha<\dfrac12$이면 $\displaystyle \beta=0$이고, $\displaystyle \alpha=\dfrac12$이면 $\displaystyle \beta=\sqrt{-F(0)}$이다. $\displaystyle \alpha>\dfrac12$이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\alpha-\frac12}=\infty$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{\{-F(0)\}\cdot\dfrac n{n+1}}=\sqrt{-F(0)}$, 그리고$\displaystyle 0\le\dfrac1{n^\alpha\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx}\le\dfrac1{n^{\alpha-\frac12}\sqrt{\{-F(0)\}\cdot\dfrac n{n+1}}}$이므로 만약 실수 $\displaystyle \beta$가 존재한다면 제시문 (라)에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^\alpha\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx}=0\Rightarrow\dfrac1\beta=0$이다. 따라서, 실수 $\displaystyle \beta$는 존재하지 않는다.그러므로, 가능한 모든 실수 $\displaystyle \alpha,\beta$의 순서쌍 $\displaystyle (\alpha,\beta)$ 중에서 $\displaystyle \alpha$의 최댓값은 $\displaystyle \dfrac12$이다.