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자연계열 II 2번

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경북대 2026학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon2_2

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문제

(가) 자연수 n\displaystyle n에 대하여, 함수 f(x)=xn\displaystyle f(x)=x^n의 도함수는f′(x)=nxn−1\displaystyle f^{\prime}(x)=nx^{n-1}

(나) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le g(x)일 때,∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx\le\int_a^bg(x)\,dx

(다) 자연수에 관한 명제 P(n)\displaystyle P(n)에 대해 다음 두 가지 성질이 성립하면, 명제 P(n)\displaystyle P(n)은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 참이다.(1) P(1)\displaystyle P(1)은 참이다.(2) P(n)\displaystyle P(n)이 참이면 P(n+1)\displaystyle P(n+1)도 참이다.

(라) 두 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}이 각각 수렴하고,lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha일 때, 만약 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이면 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}은 수렴하고lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

(마) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)에 대하여,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

실수 전체에서 연속인 이계도함수를 갖는 함수 F(x)\displaystyle F(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.

(ⅰ) F(1)=F′(0)=0\displaystyle F(1)=F^{\prime}(0)=0

(ⅱ) 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le1이면 0≤F′(x)≤1\displaystyle 0\le F^{\prime}(x)\le1이다.

(ⅲ) 임의의 실수 x\displaystyle x에 대해 {F′(x)}2−F′′(x)F(x)=1\displaystyle \{F^{\prime}(x)\}^2-F^{\prime\prime}(x)F(x)=1.

【2-1】 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여[∫01{F′(x)}n dx]2≤[∫01{F′(x)}n−1 dx][∫01{F′(x)}n dx]≤[∫01{F′(x)}n−1 dx]2\displaystyle \left[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\right]^2\le\left[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx\right]\left[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\right]\le\left[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx\right]^2가 성립함을 보이시오. (10점)

【2-2】 제시문 (가)와 (마)를 이용하여, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여∫01{F′(x)}n+1 dx=qn+rn+p∫01{F′(x)}n−1 dx\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n+1}\,dx=\dfrac{qn+r}{n+p}\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx가 성립하도록 하는 실수 p,q,r\displaystyle p,q,r을 구하시오. (30점)

【2-3】 제시문 (다)를 이용하여, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여[∫01{F′(x)}n−1 dx][∫01{F′(x)}n dx]=bn+cn+a⋅F(0)\displaystyle [\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx]=\dfrac{bn+c}{n+a}\cdot F(0)가 성립하도록 하는 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 구하시오. (40점)

【2-4】 lim⁡n→∞nα∫01{F′(x)}n dx=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^\alpha\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx=\beta가 성립하는 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta의 순서쌍 (α,β)\displaystyle (\alpha,\beta) 중에서 α\displaystyle \alpha의 최댓값을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2026학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2026mo/jayeon2_2

+5점 · 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le1일 때 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 0≤{F′(x)}n≤{F′(x)}n−1\displaystyle 0\le\{F^{\prime}(x)\}^n\le\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}을 구하면

【2-1】 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le1일 때 0≤F′(x)≤1\displaystyle 0\le F^{\prime}(x)\le1이므로 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 0≤{F′(x)}n≤{F′(x)}n−1≤1\displaystyle 0\le\{F^{\prime}(x)\}^n\le\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\le1이 성립한다.

+5점 · 0≤∫01{F′(x)}n dx≤∫01{F′(x)}n−1 dx\displaystyle 0\le\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\le\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx을 구하면

이를 닫힌구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 적분하면0≤∫01{F′(x)}n dx≤∫01{F′(x)}n−1 dx\displaystyle 0\le\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\le\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx이다. 이 부등식에 ∫01{F′(x)}n dx\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx와 ∫01{F′(x)}n−1 dx\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx를 곱하면 문제의 부등식이 성립한다.

+10점 · 제시문 (마)에 f(x)={F′(x)}n\displaystyle f(x)=\{F^{\prime}(x)\}^n, g(x)=F(x)\displaystyle g(x)=F(x)를 사용하면

【2-2】 제시문 (마)에 f(x)={F′(x)}n\displaystyle f(x)=\{F^{\prime}(x)\}^n, g(x)=F(x)\displaystyle g(x)=F(x)라 하자. 그러면,∫01{F′(x)}n⋅{F′(x)} dx=[{F′(x)}nF(x)]01−∫01[n{F′(x)}n−1F′′(x)]⋅{F(x)} dx\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^n\cdot\{F^{\prime}(x)\}\,dx=\Biggl[\{F^{\prime}(x)\}^nF(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1[n\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}F^{\prime\prime}(x)]\cdot\{F(x)\}\,dx

+5점 · F(1)=F′(0)=0\displaystyle F(1)=F^{\prime}(0)=0을 사용해 [{F′(x)}nF(x)]01=0\displaystyle \Biggl[\{F^{\prime}(x)\}^nF(x)\Biggr]_0^1=0을 보이면

그리고 F(1)=F′(0)=0⇒[{F′(x)}nF(x)]01=0\displaystyle F(1)=F^{\prime}(0)=0\Rightarrow\Biggl[\{F^{\prime}(x)\}^nF(x)\Biggr]_0^1=0이다.

+10점 · −F(x)F′′(x)=1−{F′(x)}2\displaystyle -F(x)F^{\prime\prime}(x)=1-\{F^{\prime}(x)\}^2을 사용해 −∫01[n{F′(x)}n−1F′′(x)]⋅{F(x)} dx=n∫01{F′(x)}n−1[1−{F′(x)}2] dx\displaystyle -\int_0^1[n\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}F^{\prime\prime}(x)]\cdot\{F(x)\}\,dx=n\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}[1-\{F^{\prime}(x)\}^2]\,dx를 보이면

한편, −F(x)F′′(x)=1−{F′(x)}2\displaystyle -F(x)F^{\prime\prime}(x)=1-\{F^{\prime}(x)\}^2을 이용하면,−∫01[n{F′(x)}n−1F′′(x)]⋅{F(x)} dx=n∫01{F′(x)}n−1[1−{F′(x)}2] dx\displaystyle -\int_0^1[n\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}F^{\prime\prime}(x)]\cdot\{F(x)\}\,dx=n\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}[1-\{F^{\prime}(x)\}^2]\,dx.

+5점 · 식을 정리해 p,q,r\displaystyle p,q,r을 맞게 구하면

식을 대입하여 정리하면 p=1,q=1,r=0\displaystyle p=1,q=1,r=0이다.

+10점 · [∫01{F′(x)}0 dx][∫01{F′(x)}1 dx]=−F(0)\displaystyle [\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{0}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{1}\,dx]=-F(0)을 구하면

【2-3】 ∫01{F′(x)}0 dx=∫011 dx=1\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{0}\,dx=\int_0^11\,dx=1이고 ∫01{F′(x)}1 dx=F(1)−F(0)=−F(0)\displaystyle \int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{1}\,dx=F(1)-F(0)=-F(0)이므로 n=1\displaystyle n=1일 때[∫01{F′(x)}0 dx][∫01{F′(x)}1 dx]=−F(0)=−F(0)1\displaystyle [\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{0}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{1}\,dx]=-F(0)=\dfrac{-F(0)}1가 성립한다.

+30점 · [∫01{F′(x)}n−1 dx][∫01{F′(x)}n dx]=−F(0)n\displaystyle [\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n-1}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx]=\dfrac{-F(0)}n를 유도하여 a,b,c\displaystyle a,b,c를 찾으면 * 제시문 (다)를 사용하지 않으면 점수 부여하지 않음

만약 n=k\displaystyle n=k일 때[∫01{F′(x)}k−1 dx][∫01{F′(x)}k dx]=−F(0)k\displaystyle [\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k-1}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k}\,dx]=\dfrac{-F(0)}k가 성립하면, n=k+1\displaystyle n=k+1일 때는【2-2】의 등식에 의해[∫01{F′(x)}k dx][∫01{F′(x)}k+1 dx]=[∫01{F′(x)}k dx][∫01{F′(x)}k−1 dx]⋅∫01{F′(x)}k+1 dx∫01{F′(x)}k−1 dx=−F(0)k⋅kk+1=−F(0)k+1\displaystyle \begin{aligned}[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k+1}\,dx]&=[\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k}\,dx][\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k-1}\,dx]\cdot\dfrac{\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k+1}\,dx}{\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{k-1}\,dx}\\&=\dfrac{-F(0)}k\cdot\dfrac k{k+1}=\dfrac{-F(0)}{k+1}\end{aligned}이므로 제시문 (다)에 의해 모든 자연수 n\displaystyle n에 대해 위 등식이 성립한다. 따라서 a=b=0\displaystyle a=b=0이고 c=−1\displaystyle c=-1이다.

+20점 · 모든 자연수 n\displaystyle n에 대해 −F(0)n+1≤(∫01{F′(x)}n dx)2≤−F(0)n\displaystyle -\dfrac{F(0)}{n+1}\le\left(\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\right)^2\le\dfrac{-F(0)}n, 또는 −F(0)n+1≤∫01{F′(x)}n dx≤−F(0)n\displaystyle \sqrt{\dfrac{-F(0)}{n+1}}\le\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\le\sqrt{\dfrac{-F(0)}n}를 찾았으면

【2-4】 【2-1】과【2-3】의 결과를 이용하면, 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 부등식−F(0)n+1≤(∫01{F′(x)}n dx)2≤−F(0)n\displaystyle -\dfrac{F(0)}{n+1}\le\left(\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\right)^2\le\dfrac{-F(0)}n이 성립한다.

+15점 · α<12\displaystyle \alpha<\dfrac12이면 β=0\displaystyle \beta=0임과 α=12\displaystyle \alpha=\dfrac12이면 β=−F(0)\displaystyle \beta=\sqrt{-F(0)}을 찾았으면

따라서,nα−12{−F(0)}⋅nn+1≤nα∫01{F′(x)}n dx≤nα−12−F(0)\displaystyle n^{\alpha-\frac12}\sqrt{\{-F(0)\}\cdot\dfrac n{n+1}}\le n^\alpha\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx\le n^{\alpha-\frac12}\sqrt{-F(0)}단, 조건 (ⅰ), (ⅲ)로부터 F(0)≠0\displaystyle F(0)\ne0이므로 −F(0)>0\displaystyle \sqrt{-F(0)}>0이다. 제시문 (라)에 의해 α<12\displaystyle \alpha<\dfrac12이면 β=0\displaystyle \beta=0이고, α=12\displaystyle \alpha=\dfrac12이면 β=−F(0)\displaystyle \beta=\sqrt{-F(0)}이다.

+15점 · α>12\displaystyle \alpha>\dfrac12이면 극한값 β\displaystyle \beta가 존재하지 않음을 보이고, α\displaystyle \alpha의 최댓값 12\displaystyle \dfrac12을 찾았으면

α>12\displaystyle \alpha>\dfrac12이면 lim⁡n→∞nα−12=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\alpha-\frac12}=\infty, lim⁡n→∞{−F(0)}⋅nn+1=−F(0)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{\{-F(0)\}\cdot\dfrac n{n+1}}=\sqrt{-F(0)}, 그리고0≤1nα∫01{F′(x)}n dx≤1nα−12{−F(0)}⋅nn+1\displaystyle 0\le\dfrac1{n^\alpha\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx}\le\dfrac1{n^{\alpha-\frac12}\sqrt{\{-F(0)\}\cdot\dfrac n{n+1}}}이므로 만약 실수 β\displaystyle \beta가 존재한다면 제시문 (라)에 의해 lim⁡n→∞1nα∫01{F′(x)}n dx=0⇒1β=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^\alpha\int_0^1\{F^{\prime}(x)\}^{n}\,dx}=0\Rightarrow\dfrac1\beta=0이다. 따라서, 실수 β\displaystyle \beta는 존재하지 않는다.그러므로, 가능한 모든 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta의 순서쌍 (α,β)\displaystyle (\alpha,\beta) 중에서 α\displaystyle \alpha의 최댓값은 12\displaystyle \dfrac12이다.

** 조건을 만족하는 특정 함수 F\displaystyle F 하나를 찾아 그 성질을 이용한 경우, 그 문항은 점수를 부여하지 않음

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