자연계열 I 1번

【1-1】 문제로부터 $\displaystyle a\ne0$, $\displaystyle b\ne0$, $\displaystyle c\ne0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm F$가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 세 변 위에 있지 않다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm F$가 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 내부에 있다고 하자. $\displaystyle \mathrm{AF}$가 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm P$이라 하자. 직선 $\displaystyle \mathrm{DE}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$에 평행하므로, $\displaystyle \triangle\mathrm{ADF}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABP}$는 닮음이고, $\displaystyle \triangle\mathrm{AEF}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{ACP}$ 역시 닮음이며, 두 경우 모두 닮음비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}:\overline{\mathrm{AP}}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{DF}}:\overline{\mathrm{EF}}=\overline{\mathrm{BP}}:\overline{\mathrm{CP}}$이다. $\displaystyle \triangle\mathrm{ABF}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{CAF}$의 넓이비는 $\displaystyle c:b$인데, 두 삼각형이 변 $\displaystyle \mathrm{AF}$를 공통변으로 가지므로, 넓이비 $\displaystyle c:b$는 공통변에서 각 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm B$와 꼭짓점 $\displaystyle \mathrm C$까지의 높이비와 같다. 이 높이비는 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABP}$과 $\displaystyle \triangle\mathrm{ACP}$에서 변 $\displaystyle \mathrm{AP}$을 밑변으로 한 높이비와 같다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABP}$과 $\displaystyle \triangle\mathrm{ACP}$의 넓이의 비는 $\displaystyle c:b$이다. 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}:\overline{\mathrm{CP}}=\overline{\mathrm{DF}}:\overline{\mathrm{EF}}=c:b$이고, 문제로부터 $\displaystyle b=\dfrac12$이고 $\displaystyle c=\dfrac16$이므로 $\displaystyle \dfrac{\overline{\mathrm{DF}}}{\overline{\mathrm{EF}}}=\dfrac13$이다.

【1-2】 점 $\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1)$, $\displaystyle \mathrm B(x_2,y_2)$, $\displaystyle \mathrm C(x_3,y_3)$, $\displaystyle \mathrm D(x_4,y_4)$, $\displaystyle \mathrm E(x_5,y_5)$, $\displaystyle \mathrm F(x,y)$에 대하여 다음을 계산한다. 점 $\displaystyle \mathrm P$은 【1-1】의 풀이에서의 점과 같이 정의한다. $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{FBC}$의 넓이의 비 $\displaystyle 1:a$는 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$에서 점 $\displaystyle \mathrm A$와 점 $\displaystyle \mathrm F$까지의 높이비이다. 이 높이비는 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABP}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{ADF}$의 닮음비이고, 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}:\overline{\mathrm{FP}}=b+c:a$이다. 삼각형의 닮음을 이용하면, 점 $\displaystyle \mathrm D$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle b+c:a$로 내분하는 점, 점 $\displaystyle \mathrm E$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$를 $\displaystyle b+c:a$로 내분하는 점, 점 $\displaystyle \mathrm F$는 선분 $\displaystyle \mathrm{DE}$를 $\displaystyle c:b$로 내분하는 점임을 알 수 있다. 따라서,$\displaystyle \mathrm D(x_4,y_4)=(ax_1+(b+c)x_2,ay_1+(b+c)y_2)$,$\displaystyle \mathrm E(x_5,y_5)=(ax_1+(b+c)x_3,ay_1+(b+c)y_3)$,$\displaystyle \mathrm F(x,y)=(ax_1+bx_2+cx_3,ay_1+by_2+cy_3)$이다.

문제로부터 (ㄱ)$\displaystyle =1$,(ㄴ)$\displaystyle =-2$,(ㄷ)$\displaystyle =7$,(ㄹ)$\displaystyle =4$,(ㅁ)$\displaystyle =-3$,(ㅂ)$\displaystyle =2$이다.

【1-3】 실수 $\displaystyle m,n,k,\ell$가 $\displaystyle m>0$, $\displaystyle n>0$, $\displaystyle k>0$, $\displaystyle \ell>0$를 만족한다. 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle m:n$으로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm Q$라 하자. 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle \triangle\mathrm{CAQ}$과 $\displaystyle \triangle\mathrm{BCQ}$의 넓이의 비는 $\displaystyle m:n$이고, 【1-1】의 풀이와 같이 선분 $\displaystyle \mathrm{CQ}$위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm X$에 대하여 (단, $\displaystyle \mathrm X\ne\mathrm C$)$\displaystyle \triangle\mathrm{CAX}$와 $\displaystyle \triangle\mathrm{BCX}$의 넓이의 비도 $\displaystyle m:n$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm F$가 선분 $\displaystyle \mathrm{CQ}$위에 있으면 (단, $\displaystyle \mathrm F\ne\mathrm C$), $\displaystyle b:a=m:n$임을 알 수 있다. 마찬가지로, 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$를 $\displaystyle k:\ell$로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm R$이라 할 때, 점 $\displaystyle \mathrm F$가 선분 $\displaystyle \mathrm{BR}$위에 있으면 (단, $\displaystyle \mathrm F\ne\mathrm B$), $\displaystyle c:a=k:\ell$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle \dfrac mn\le2$일 때 점 $\displaystyle \mathrm F$가 선분 $\displaystyle \mathrm{CQ}$위에 있으면 (단, $\displaystyle \mathrm F\ne\mathrm C$) $\displaystyle b\le2a$이고, 반대로 $\displaystyle \dfrac mn>2$일 때 점 $\displaystyle \mathrm F$가 선분 $\displaystyle \mathrm{CQ}$위에 있으면 (단, $\displaystyle \mathrm F\ne\mathrm C$) $\displaystyle b>2a$이다. 마찬가지로, $\displaystyle \dfrac k\ell\le2$일 때 점 $\displaystyle \mathrm F$가 선분 $\displaystyle \mathrm{BR}$위에 있으면 (단, $\displaystyle \mathrm F\ne\mathrm B$) $\displaystyle c\le2a$이고, 반대로 $\displaystyle \dfrac k\ell>2$일 때 점 $\displaystyle \mathrm F$가 선분 $\displaystyle \mathrm{BR}$위에 있으면 (단, $\displaystyle \mathrm F\ne\mathrm B$) $\displaystyle c>2a$이다.$\displaystyle m:n=2:1$일 때의 점 $\displaystyle \mathrm Q$와 $\displaystyle k:\ell=2:1$일 때의 점 $\displaystyle \mathrm R$에 대하여, 선분 $\displaystyle \mathrm{CQ}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{BR}$의 교점을 $\displaystyle \mathrm V$라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm V$는 두 선분 $\displaystyle \mathrm{CQ}$와 $\displaystyle \mathrm{BR}$의 교점이므로, 점 $\displaystyle \mathrm F$가 $\displaystyle \mathrm V$일 때 $\displaystyle 2a=b=c$이고, $\displaystyle a+b+c=1$이므로, 이 때 $\displaystyle a=\dfrac15$이다.점 $\displaystyle \mathrm F$가 사각형 $\displaystyle \mathrm{AQVR}$ 내부에 있으면 $\displaystyle b\le2a$이고, $\displaystyle c\le2a$이다. 이제 점 $\displaystyle \mathrm F$가 사각형 $\displaystyle \mathrm{AQVR}$ 외부에 있다고 하자. $\displaystyle a=0$이면 $\displaystyle b>2a$ 또는 $\displaystyle c>2a$임이 자명하고, $\displaystyle a>0$이면 $\displaystyle b>2a$ 또는 $\displaystyle c>2a$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{AQVR}$이 사각형 $\displaystyle \mathrm{AJKL}$일 때의 사각형 $\displaystyle \mathrm{AJKL}$의 넓이가 최대 넓이이다. 이때의 $\displaystyle \mathrm Q=\mathrm J$, $\displaystyle \mathrm R=\mathrm L$, $\displaystyle \mathrm V=\mathrm K$로 두자.

$\displaystyle \dfrac{\triangle\mathrm{BCK}\text{의 넓이}}{\triangle\mathrm{ABC}\text{의 넓이}}=\dfrac15$, $\displaystyle \dfrac{\triangle\mathrm{AJK}\text{의 넓이}}{\triangle\mathrm{ABK}\text{의 넓이}}=\dfrac23$, $\displaystyle \dfrac{\triangle\mathrm{ALK}\text{의 넓이}}{\triangle\mathrm{ACK}\text{의 넓이}}=\dfrac23$이므로$\displaystyle \dfrac{\text{사각형 }\mathrm{AJKL}\text{의 넓이}}{\triangle\mathrm{ABC}\text{의 넓이}}=\dfrac{\triangle\mathrm{AJK}\text{의 넓이}+\triangle\mathrm{ALK}\text{의 넓이}}{\triangle\mathrm{ABC}\text{의 넓이}}=\left(1-\dfrac15\right)\times\dfrac23=\dfrac8{15}$이다.