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자연계열 II 1번

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경북대 2026학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2026su/jayeon2_1

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문제

[제시문]

(가) 이계도함수를 갖는 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f′′(a)=0\displaystyle f^{\prime\prime}(a)=0이고 x=a\displaystyle x=a의 좌우에서 f′′(x)\displaystyle f^{\prime\prime}(x)의 부호가 바뀌면 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))를 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 변곡점이라 한다.

(나) x=a\displaystyle x=a에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 우극한과 좌극한이 각각 존재하고 그 값이 모두 L\displaystyle L이면 lim⁡x→af(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L이다. 또한 그 역도 성립한다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 실수 a\displaystyle a에 대하여① 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 정의되어 있고② 극한값 lim⁡x→af(x)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)가 존재하며③ lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)일 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이라고 한다.

(라) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라고 하면a1=S1,an=Sn−Sn−1(단, n≥2)\displaystyle a_1=S_1,\quad a_n=S_n-S_{n-1}\quad(단,\ n\ge2)

(마) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때,∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x(단, Δx=b−an\displaystyle \Delta x=\dfrac{b-a}n이고 xk=a+kΔx\displaystyle x_k=a+k\Delta x)

삼차함수 g(x)=ax3+bx2+2x−15\displaystyle g(x)=ax^3+bx^2+2x-15와 이차함수 h(x)=x2+rx+s\displaystyle h(x)=x^2+rx+s에 대하여 함수f(x)={g(x)(x<2)h(x)(x≥2)\displaystyle f(x)=\begin{cases}g(x)&(x<2)\\h(x)&(x\ge2)\end{cases}라고 할 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)는 다음 조건을 만족시킨다. (단, a\displaystyle a는 자연수이고 b,r,s\displaystyle b,r,s는 실수)

(Ⅰ) 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=−23\displaystyle x=-\dfrac23에서 변곡점을 가진다.

(Ⅱ) 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수가 존재한다.

(Ⅲ) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(Ⅳ) lim⁡h→0−f(2+3h)−f(2+h)h=2f′(c)\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(2+3h)-f(2+h)}h=2f^{\prime}(c)인 c\displaystyle c가 구간 [2,∞)\displaystyle [2,\infty)에 존재한다.

다음 물음에 답하시오.

【1-1】 상수 a\displaystyle a와 b\displaystyle b의 값을 구하시오. (20점)

【1-2】 가능한 모든 실수 r\displaystyle r의 값의 범위는 α≤r≤β\displaystyle \alpha\le r\le\beta이다. 상수 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 값을 구하시오. (20점)

【1-3】 모든 자연수 n\displaystyle n과 【1-2】에서 구한 β\displaystyle \beta에 대하여 r=β\displaystyle r=\beta일 때 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}은an=f(n)(n≥1)\displaystyle a_n=f(n)\quad(n\ge1)로 정의된다. 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}은an=∑k=1nkbn−k+1n+1(n≥1)\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{kb_{n-k+1}}{n+1}\quad(n\ge1)을 만족시킨다.(1) a1+a5\displaystyle a_1+a_5의 값을 구하시오. (10점)(2) b1+3b2+4b3−b50\displaystyle b_1+3b_2+4b_3-b_{50}의 값을 구하시오. (30점)(3) lim⁡n→∞1n6∑k=1n+3(bk−4412+n2)5=qp\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\sum_{k=1}^{n+3}\left(\dfrac{b_k-44}{12}+\dfrac n2\right)^5=\dfrac qp일 때, p\displaystyle p와 q\displaystyle q의 값을 구하시오. (단, p\displaystyle p와 q\displaystyle q는 서로소인 자연수) (40점)

해설강의 준비중

경북대 2026학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2026su/jayeon2_1

+5점 · 2a=b\displaystyle 2a=b를 올바르게 제시한 경우

【1-1】 g′(x)=3ax2+2bx+2\displaystyle g^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+2이고 g′′(x)=6ax+2b\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=6ax+2b이다. 조건 (Ⅰ)에 의해 g′′(−23)=0\displaystyle g^{\prime\prime}\left(-\dfrac23\right)=0이므로 2a=b\displaystyle 2a=b이다.

+5점 · b2−6a≤0\displaystyle b^2-6a\le0을 올바르게 제시한 경우 ① 2a=b\displaystyle 2a=b를 이용하여 변형한 식을 제시한 경우도 5점을 부여함 (예: 4a2−6a≤0\displaystyle 4a^2-6a\le0, b2−3b≤0\displaystyle b^2-3b\le0 등)

또한 조건 (Ⅰ)과 조건 (Ⅱ)에 의해 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 g′(x)≥0\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0이므로 b2−3a×2≤0\displaystyle b^2-3a\times2\le0이다.

+10점 · a=1\displaystyle a=1과 b=2\displaystyle b=2를 모두 올바르게 구한 경우 ① a=1\displaystyle a=1과 b=2\displaystyle b=2 중 하나만 올바르게 구한 경우 5점 ② 그 외의 경우 0점

이 부등식을 풀면 0≤a≤32\displaystyle 0\le a\le\dfrac32이다. a\displaystyle a는 자연수이므로 a=1\displaystyle a=1이고 b=2\displaystyle b=2이다.

+4점 · lim⁡h→0+f(2+h)−f(2)h=4+r\displaystyle \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=4+r을 제시한 경우
+4점 · lim⁡h→0−f(2+3h)−f(2+h)h=44\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(2+3h)-f(2+h)}h=44 (또는 lim⁡h→0−g(2+3h)−g(2+h)h=44\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{g(2+3h)-g(2+h)}h=44 또는 lim⁡h→0−f(2+3h)−f(2+h)2h=22\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(2+3h)-f(2+h)}{2h}=22 또는 lim⁡h→0−g(2+3h)−g(2+h)2h=22\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{g(2+3h)-g(2+h)}{2h}=22)를 올바르게 구한 경우
+4점 · f′(c)=2c+r\displaystyle f^{\prime}(c)=2c+r을 제시한 경우

【1-2】 【1-1】에 의해 g(x)=x3+2x2+2x−15\displaystyle g(x)=x^3+2x^2+2x-15이다. x≥2\displaystyle x\ge2에서 f(x)=h(x)\displaystyle f(x)=h(x)이므로 조건 (Ⅱ)에 의해0≤lim⁡h→0+f(2+h)−f(2)h=4+r\displaystyle 0\le\lim_{h\to0^+}\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=4+r이다. 그러므로 r≥−4\displaystyle r\ge-4이다. 또한 c≥2\displaystyle c\ge2이고 x<2\displaystyle x<2에서 f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)이므로 조건 (Ⅳ)에 의해2c+r=f′(c)=lim⁡h→0−f(2+3h)−f(2+h)2h=22\displaystyle 2c+r=f^{\prime}(c)=\lim_{h\to0^-}\dfrac{f(2+3h)-f(2+h)}{2h}=22이다. 그러므로 r=22−2c≤18\displaystyle r=22-2c\le18이다.

+8점 · α=−4\displaystyle \alpha=-4와 β=18\displaystyle \beta=18을 올바르게 구한 경우 ① α=−4\displaystyle \alpha=-4와 β=18\displaystyle \beta=18 중 하나만 올바르게 구한 경우 4점 ② 그 외의 경우 0점

따라서 −4≤r≤18\displaystyle -4\le r\le18이고, α=−4,β=18\displaystyle \alpha=-4,\beta=18이다.

+4점 · r+2s=1\displaystyle r+2s=1 (또는 h(x)=x2+rx+1−2r\displaystyle h(x)=x^2+rx+1-2r)을 제시한 경우

Correction. 1-3 (1) 채점기준의 r+2s=1\displaystyle r+2s=1은 2r+s=1\displaystyle 2r+s=1의 오기이다. 연속 조건에서 g(2)=h(2)\displaystyle g(2)=h(2)이므로 다음과 같다.5=4+2r+s\displaystyle 5=4+2r+s따라서 2r+s=1\displaystyle 2r+s=1이다. 같은 행의 h(x)=x2+rx+1−2r\displaystyle h(x)=x^2+rx+1-2r과 예시답안 본문은 올바르게 적혀 있다. 원문 표기는 그대로 실었다.

【1-3】(1) 조건 (Ⅲ)에 의해 lim⁡x→2−g(x)=h(2)\displaystyle \lim_{x\to2^-}g(x)=h(2)이므로 2r+s=1\displaystyle 2r+s=1이다. 【1-2】에 의해 β=18\displaystyle \beta=18이므로 h(x)=x2+18x−35\displaystyle h(x)=x^2+18x-35이다.

+4점 · a1=−10\displaystyle a_1=-10과 an=n2+18n−35 (n≥2)\displaystyle a_n=n^2+18n-35\ (n\ge2)를 올바르게 구한 경우 ① a1=−10\displaystyle a_1=-10을 올바르게 구한 경우 2점 ② an=n2+18n−35 (n≥2)\displaystyle a_n=n^2+18n-35\ (n\ge2)를 올바르게 구한 경우 2점 ③ an=n2+18n−35\displaystyle a_n=n^2+18n-35를 구하였지만 n\displaystyle n의 범위를 올바르지 않게 제시한 경우 1점 ④ 그 외의 경우 0점

그러므로an={−10(n=1)n2+18n−35(n≥2)\displaystyle a_n=\begin{cases}-10&(n=1)\\n^2+18n-35&(n\ge2)\end{cases}이다.

+2점 · a1+a5=70\displaystyle a_1+a_5=70을 올바르게 구한 경우

따라서 a1=−10,a5=80\displaystyle a_1=-10,a_5=80이므로 a1+a5=70\displaystyle a_1+a_5=70이다.

+10점 · ∑k=1nbk(=b1+b2+⋯+bn)=3n2+35n−35 (n≥3)\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k(=b_1+b_2+\cdots+b_n)=3n^2+35n-35\ (n\ge3)을 올바르게 구한 경우 ① 3n2+35n−35\displaystyle 3n^2+35n-35를 구하였지만 n\displaystyle n의 범위를 올바르지 않게 제시한 경우 3점 ② 3n2+35n−35\displaystyle 3n^2+35n-35를 올바르게 구하지 못한 경우 0점
+10점 · bn=6n+32 (n≥4)\displaystyle b_n=6n+32\ (n\ge4)를 올바르게 구한 경우 ① bn=6n+32\displaystyle b_n=6n+32를 구하였지만 n\displaystyle n의 범위를 올바르지 않게 제시한 경우 8점 ② bn=6n+32\displaystyle b_n=6n+32를 올바르게 구하지 못한 경우 0점
+8점 · b1=−20,b2=55,b3=62,b50=332\displaystyle b_1=-20,b_2=55,b_3=62,b_{50}=332를 올바르게 구한 경우 ① b1=−20,b2=55,b3=62,b50=332\displaystyle b_1=-20,b_2=55,b_3=62,b_{50}=332에 각 2점씩 부여함

(2) 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}의 정의에 의해(n+1)an=bn+2bn−1+⋯+nb1(n≥1)\displaystyle (n+1)a_n=b_n+2b_{n-1}+\cdots+nb_1\quad(n\ge1)이므로 b1=2a1=−20\displaystyle b_1=2a_1=-20이다. n≥2\displaystyle n\ge2일 때, nan−1=bn−1+2bn−2+⋯+(n−1)b1\displaystyle na_{n-1}=b_{n-1}+2b_{n-2}+\cdots+(n-1)b_1이므로∑k=1nbk=(n+1)an−nan−1(n≥2)\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k=(n+1)a_n-na_{n-1}\quad(n\ge2)이다. n=2\displaystyle n=2일 때, b1+b2=3a2−2a1=35\displaystyle b_1+b_2=3a_2-2a_1=35이고 b2=55\displaystyle b_2=55이다. 또한 n≥3\displaystyle n\ge3일 때,(n+1)an−nan−1=(n+1)(n2+18n−35)−n{(n−1)2+18(n−1)−35}=3n2+35n−35\displaystyle \begin{aligned}(n+1)a_n-na_{n-1}&=(n+1)(n^2+18n-35)-n\{(n-1)^2+18(n-1)-35\}\\&=3n^2+35n-35\end{aligned}이므로 ∑k=1nbk=3n2+35n−35(n≥3)\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k=3n^2+35n-35\quad(n\ge3)이다. 그러므로 b1+b2+b3=97\displaystyle b_1+b_2+b_3=97이고 b3=62\displaystyle b_3=62이다. n≥4\displaystyle n\ge4일 때,bn=∑k=1nbk−∑k=1n−1bk=(3n2+35n−35)−{3(n−1)2+35(n−1)−35}=6n+32\displaystyle \begin{aligned}b_n&=\sum_{k=1}^nb_k-\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\&=(3n^2+35n-35)-\{3(n-1)^2+35(n-1)-35\}\\&=6n+32\end{aligned}이다. 그러므로 b50=332\displaystyle b_{50}=332이다.

+2점 · b1+3b2+4b3−b50=61\displaystyle b_1+3b_2+4b_3-b_{50}=61을 올바르게 구한 경우

따라서 b1+3b2+4b3−b50=61\displaystyle b_1+3b_2+4b_3-b_{50}=61이다.

+15점 · 무한급수의 식을 계산하여 132lim⁡n→∞1n∑t=1n(tn+1)5\displaystyle \dfrac1{32}\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{t=1}^n\left(\dfrac tn+1\right)^5을 올바르게 제시한 경우 ① 다른 방법으로 무한급수에 대한 식을 변형하여 lim⁡n→∞∑t=1n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{t=1}^n 형태의 식을 얻은 경우도 계산이 맞으면 15점을 부여함
+15점 · 무한급수의 식을 계산하여 132∫12x5dx\displaystyle \dfrac1{32}\int_1^2x^5dx를 올바르게 제시한 경우 ① 다른 방법으로 무한급수에 대한 식을 변형하여 적분 식으로 얻은 경우도 계산이 맞으면 15점을 부여함

(3) (2)에 의해lim⁡n→∞1n6∑k=1n+3(bk−4412+n2)5=lim⁡n→∞1n6{(−20−4412+n2)5+(55−4412+n2)5+(62−4412+n2)5+∑k=4n+3((6k+32)−4412+n2)5}=lim⁡n→∞1n6{(−163+n2)5+(1112+n2)5+(32+n2)5+∑k=4n+3(k−22+n2)5}=lim⁡n→∞{1n(−163n+12)5+1n(1112n+12)5+1n(32n+12)5}+132lim⁡n→∞1n6∑k=4n+3(k−2+n)5=132lim⁡n→∞1n6∑t=2n+1(t+n)5=132lim⁡n→∞1n6{∑t=1n(t+n)5+(2n+1)5−(1+n)5}=132[lim⁡n→∞1n∑t=1n(tn+1)5+lim⁡n→∞{1n(2+1n)5−1n(1n+1)5}]=132∫12x5dx=2164\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\sum_{k=1}^{n+3}\left(\dfrac{b_k-44}{12}+\dfrac n2\right)^5\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\left\{\left(\dfrac{-20-44}{12}+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac{55-44}{12}+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac{62-44}{12}+\dfrac n2\right)^5+\sum_{k=4}^{n+3}\left(\dfrac{(6k+32)-44}{12}+\dfrac n2\right)^5\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\left\{\left(-\dfrac{16}3+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac{11}{12}+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac32+\dfrac n2\right)^5+\sum_{k=4}^{n+3}\left(\dfrac{k-2}2+\dfrac n2\right)^5\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\left\{\dfrac1n\left(-\dfrac{16}{3n}+\dfrac12\right)^5+\dfrac1n\left(\dfrac{11}{12n}+\dfrac12\right)^5+\dfrac1n\left(\dfrac3{2n}+\dfrac12\right)^5\right\}+\dfrac1{32}\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\sum_{k=4}^{n+3}(k-2+n)^5\\&=\dfrac1{32}\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\sum_{t=2}^{n+1}(t+n)^5\\&=\dfrac1{32}\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\left\{\sum_{t=1}^n(t+n)^5+(2n+1)^5-(1+n)^5\right\}\\&=\dfrac1{32}\left[\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{t=1}^n\left(\dfrac tn+1\right)^5+\lim_{n\to\infty}\left\{\dfrac1n\left(2+\dfrac1n\right)^5-\dfrac1n\left(\dfrac1n+1\right)^5\right\}\right]\\&=\dfrac1{32}\int_1^2x^5dx\\&=\dfrac{21}{64}\end{aligned}이다.

+10점 · p=64\displaystyle p=64와 q=21\displaystyle q=21을 올바르게 구한 경우 ① p=64\displaystyle p=64와 q=21\displaystyle q=21 중 하나만 올바르게 구한 경우 5점 ② 그 외의 경우 0점

따라서 p=64,q=21\displaystyle p=64,q=21이다.

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