자연계열 II 1번

【1-1】 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+2$이고 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=6ax+2b$이다. 조건 (Ⅰ)에 의해 $\displaystyle g^{\prime\prime}\left(-\dfrac23\right)=0$이므로 $\displaystyle 2a=b$이다. 또한 조건 (Ⅰ)과 조건 (Ⅱ)에 의해 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0$이므로 $\displaystyle b^2-3a\times2\le0$이다. 이 부등식을 풀면 $\displaystyle 0\le a\le\dfrac32$이다. $\displaystyle a$는 자연수이므로 $\displaystyle a=1$이고 $\displaystyle b=2$이다.

【1-2】 【1-1】에 의해 $\displaystyle g(x)=x^3+2x^2+2x-15$이다. $\displaystyle x\ge2$에서 $\displaystyle f(x)=h(x)$이므로 조건 (Ⅱ)에 의해$\displaystyle 0\le\lim_{h\to0^+}\dfrac{f(2+h)-f(2)}h=4+r$이다. 그러므로 $\displaystyle r\ge-4$이다. 또한 $\displaystyle c\ge2$이고 $\displaystyle x<2$에서 $\displaystyle f(x)=g(x)$이므로 조건 (Ⅳ)에 의해$\displaystyle 2c+r=f^{\prime}(c)=\lim_{h\to0^-}\dfrac{f(2+3h)-f(2+h)}{2h}=22$이다. 그러므로 $\displaystyle r=22-2c\le18$이다. 따라서 $\displaystyle -4\le r\le18$이고, $\displaystyle \alpha=-4,\beta=18$이다.

【1-3】(1) 조건 (Ⅲ)에 의해 $\displaystyle \lim_{x\to2^-}g(x)=h(2)$이므로 $\displaystyle 2r+s=1$이다. 【1-2】에 의해 $\displaystyle \beta=18$이므로 $\displaystyle h(x)=x^2+18x-35$이다. 그러므로$\displaystyle a_n=\begin{cases}-10&(n=1)\\n^2+18n-35&(n\ge2)\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle a_1=-10,a_5=80$이므로 $\displaystyle a_1+a_5=70$이다.

(2) 수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 정의에 의해$\displaystyle (n+1)a_n=b_n+2b_{n-1}+\cdots+nb_1\quad(n\ge1)$이므로 $\displaystyle b_1=2a_1=20$이다. $\displaystyle n\ge2$일 때, $\displaystyle na_{n-1}=b_{n-1}+2b_{n-2}+\cdots+(n-1)b_1$이므로$\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k=(n+1)a_n-na_{n-1}\quad(n\ge2)$이다. $\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle b_1+b_2=3a_2-2a_1=35$이고 $\displaystyle b_2=55$이다. 또한 $\displaystyle n\ge3$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}(n+1)a_n-na_{n-1}&=(n+1)(n^2+18n-35)-n\{(n-1)^2+18(n-1)-35\}\\&=3n^2+35n-35\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^nb_k=3n^2+35n-35\quad(n\ge3)$이다. 그러므로 $\displaystyle b_1+b_2+b_3=97$이고 $\displaystyle b_3=62$이다. $\displaystyle n\ge4$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}b_n&=\sum_{k=1}^nb_k-\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\&=(3n^2+35n-35)-\{3(n-1)^2+35(n-1)-35\}\\&=6n+32\end{aligned}$이다. 그러므로 $\displaystyle b_{50}=332$이다. 따라서 $\displaystyle b_1+3b_2+4b_3-b_{50}=61$이다.

(3) (2)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\sum_{k=1}^{n+3}\left(\dfrac{b_k-44}{12}+\dfrac n2\right)^5\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\left\{\left(\dfrac{-20-44}{12}+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac{55-44}{12}+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac{62-44}{12}+\dfrac n2\right)^5+\sum_{k=4}^{n+3}\left(\dfrac{(6k+32)-44}{12}+\dfrac n2\right)^5\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\left\{\left(-\dfrac{16}3+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac{11}{12}+\dfrac n2\right)^5+\left(\dfrac32+\dfrac n2\right)^5+\sum_{k=4}^{n+3}\left(\dfrac{k-2}2+\dfrac n2\right)^5\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\left\{\dfrac1n\left(-\dfrac{16}{3n}+\dfrac12\right)^5+\dfrac1n\left(\dfrac{11}{12n}+\dfrac12\right)^5+\dfrac1n\left(\dfrac3{2n}+\dfrac12\right)^5\right\}+\dfrac1{32}\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\sum_{k=4}^{n+3}(k-2+n)^5\\&=\dfrac1{32}\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\sum_{t=2}^{n+1}(t+n)^5\\&=\dfrac1{32}\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^6}\left\{\sum_{t=1}^n(t+n)^5+(2n+1)^5-(1+n)^5\right\}\\&=\dfrac1{32}\left[\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{t=1}^n\left(\dfrac tn+1\right)^5+\lim_{n\to\infty}\left\{\dfrac1n\left(2+\dfrac1n\right)^5-\dfrac1n\left(\dfrac1n+1\right)^5\right\}\right]\\&=\dfrac1{32}\int_1^2x^5dx\\&=\dfrac{21}{64}\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle p=64,q=21$이다.