자연계열 I 1번

경북대 2027학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2027mo/jayeon1_1

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 실수 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ 에 대하여(1) $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 증가한다고 하며,(2) $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)>f(x_2)$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 감소한다고 한다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $\displaystyle x$ 에서(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 증가한다.(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 감소한다.

(다) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$ 이면, $\displaystyle f(a)$ 와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 임의의 실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$ 인 $\displaystyle c$ 가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

함수 $\displaystyle p(x)=x\{(x-1)^2+1\}-e^{\frac{x^2-1}{2}}$ 에 대하여 방정식 $\displaystyle p(x)=0$ 의 $\displaystyle \sqrt2$ 보다 큰 실근이 오직 하나 존재한다. 이 실근을 $\displaystyle \alpha$ 라 하자. 다음 물음에 답하시오.

【1-1】(1) $\displaystyle p(1)$ 의 값을 찾고, $\displaystyle k_1<x<\alpha$ 일 때 부등식 $\displaystyle p(x)>0$ 을 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle k_1$ 의 최솟값을 구하시오. (20점)

(2) $\displaystyle x>\alpha$ 일 때 부등식 $\displaystyle p(x)<0$ 이 성립함을 보이시오. (10점)

【1-2】실수 전체에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)=e^x$ 와 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$ 에서 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)=\frac{c^2}{2}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)-\ln x$ 에 대하여 함수 $\displaystyle h(x)$ 를 $\displaystyle h(x)=\frac{c^2}{x}+x+(f\circ g)(x)$ 라 하자. (단, $\displaystyle c$ 는 양의 실수이다.)

(1) $\displaystyle k_2<c<\alpha$ 일 때 부등식 $\displaystyle h(1)>h(c)$ 를 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle k_2$ 의 최솟값을 구하시오. (20점)

(2) $\displaystyle \sqrt2<c<\alpha$ 일 때 방정식 $\displaystyle h(1)=h(x)$ 는 열린구간 $\displaystyle (1,c)$ 에서 오직 하나의 실근을 가짐을 보이시오. (70점)

해설강의 준비중

경북대 2027학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2027mo/jayeon1_1

+5점 ·

\displaystyle p(1)=0

을 찾았으면

【1-1】(1) $\displaystyle p(x)$ 에 $\displaystyle x=1$ 을 대입하면 $\displaystyle p(1)=0$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle 1<x<\alpha

일 때 부등식

\displaystyle p(x)>0

이 성립함을 보이면

함수 $\displaystyle l(x)$ 를 $\displaystyle l(x)=\frac{x((x-1)^2+1)}{e^{\frac{x^2-1}{2}}}$ 라 하자. 부등식 $\displaystyle p(x)>0$ 은 부등식 $\displaystyle l(x)>1$ 과 같으므로, $\displaystyle k_1<x<\alpha$ 일 때 부등식 $\displaystyle l(x)>1$ 이 성립하게 하는 양의 실수 $\displaystyle k_1$ 의 최솟값을 구하면 된다. 한편, $\displaystyle p(1)=0$ 이므로 $\displaystyle l(1)=1$ 이다. 또한, $\displaystyle 1<\sqrt2$ 이고, 방정식 $\displaystyle p(x)=0$ 의 $\displaystyle \sqrt2$ 보다 큰 실근 $\displaystyle \alpha$ 에 대해서 $\displaystyle l(\alpha)=1$ 이다. $\displaystyle l^{\prime}(x)=\frac{-x^4+2x^3+x^2-4x+2}{e^{\frac{x^2-1}{2}}}=\frac{(x-1)^2(2-x^2)}{e^{\frac{x^2-1}{2}}}$ 이므로, $\displaystyle x>0$ 일 때 함수 $\displaystyle l(x)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle x$	(0)	$\displaystyle \cdots$	1	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \sqrt2$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \alpha$	$\displaystyle \cdots$
$\displaystyle l^{\prime}(x)$	+	+	+	+	0	−	−	−
$\displaystyle l(x)$	(0)	$\displaystyle \nearrow$	1	$\displaystyle \nearrow$	$\displaystyle l(\sqrt2)$	$\displaystyle \searrow$	1	$\displaystyle \searrow$

Correction.

\displaystyle l^{\prime}(x)=\frac{(x-1)^2(2-x^2)}{e^{(x^2-1)/2}}

이므로 증감표의

\displaystyle x=1

에서 도함수 값은

\displaystyle +

가 아니라

\displaystyle 0

이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 ·

\displaystyle k_1<x<\alpha

일 때 부등식

\displaystyle p(x)>0

을 만족시키는 양의 실수

\displaystyle k_1

의 최솟값은 1임을 찾았으면

따라서, $\displaystyle k_1<x<\alpha$ 일 때 부등식 $\displaystyle l(x)>1$ 이 성립하게 하는 양의 실수 $\displaystyle k_1$ 의 최솟값은 1이다.

+10점 ·

\displaystyle x>\alpha

일 때 부등식

\displaystyle p(x)<0

이 성립함을 보이면

(2) $\displaystyle l(\alpha)=1$ 이므로 위의 증감표에 의하여 $\displaystyle x>\alpha$ 일 때 $\displaystyle l(x)<1$ 이다. 따라서, $\displaystyle x>\alpha$ 일 때 $\displaystyle p(x)<0$ 가 성립한다.

+15점 ·

\displaystyle 1<c<\alpha

일 때

\displaystyle h(1)>h(c)

이 성립함을 보이면

【1-2】(1) 함수 $\displaystyle h(x)$ 의 정의에 의해 부등식 $\displaystyle h(1)>h(c)$ 은 부등식 $\displaystyle c^2+2>2c+(f\circ g)(c)$ 과 같다. 그런데 $\displaystyle g(c)=\frac{c^2}{2}\left(1-\frac{1}{c^2}\right)-\ln c=\frac{c^2-1}{2}-\ln c$ 이므로, $\displaystyle (f\circ g)(c)=e^{\frac{c^2-1}{2}-\ln c}=e^{\frac{c^2-1}{2}}\frac1c$ 이다. 따라서, 위 부등식의 양변에 $\displaystyle c>0$ 을 곱하면 $\displaystyle c((c-1)^2+1)>e^{\frac{c^2-1}{2}}$ 이다. 문제 【1-1】에 의해 양의 실수 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle c((c-1)^2+1)>e^{\frac{c^2-1}{2}}$ 를 만족할 필요충분조건은 $\displaystyle 1<c<\alpha$

+5점 ·

\displaystyle k_2<c<\alpha

일 때 부등식

\displaystyle h(1)>h(c)

을 만족시키는 양의 실수

\displaystyle k_2

의 최솟값이 1임을 찾았으면

이므로, $\displaystyle k_2<c<\alpha$ 일 때 부등식 $\displaystyle h(1)>h(c)$ 를 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle k_2$ 의 최솟값은 1이다.

+10점 ·

\displaystyle h^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)(f(g(x))-x)

임을 보이면

(2) 함수 $\displaystyle h(x)$ 의 그래프의 개형을 알아보자. $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{c^2}{x^3}-\frac1x$ 이므로, $\displaystyle h^{\prime}(x)=-\frac{c^2}{x^2}+1+f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)(f(g(x))-x)$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle 0<x<c

일 때

\displaystyle g^{\prime}(x)>0

\displaystyle x>c

일 때

\displaystyle g^{\prime}(x)<0

임을 보이면

$\displaystyle g^{\prime}(x)$ 와 $\displaystyle f(g(x))-x$ 의 부호를 조사하자. $\displaystyle x>0$ 일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 의 부호는 다음과 같다. $\displaystyle 0<x<c$ 일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0,$ $\displaystyle x>c$ 일 때 $\displaystyle g^{\prime}(x)<0.$ Comment. 이 공개 자료의 【1-2】 (2) 예시답안은 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 의 부호를 구하는 단계에서 끝나며, 이후 $\displaystyle h(x)=h(1)$ 의 근의 존재와 유일성을 보이는 논증은 수록되어 있지 않다.

하위 문항	채점 기준	배점
1-2 (2)	$\displaystyle f(g(x))-x=0$ 의 1보다 큰 실근 $\displaystyle q$ 는 오직 하나만 존재함을 보이면	10점
1-2 (2)	$\displaystyle 1<x<q$ 일 때 $\displaystyle f(g(x))-x>0$ , $\displaystyle x>q$ 일 때 $\displaystyle f(g(x))-x<0$ 임을 보이면	10점
1-2 (2)	$\displaystyle q<c$ 임을 보이면	15점
1-2 (2)	$\displaystyle h(x)=h(1)$ 의 근이 열린구간 $\displaystyle (1,c)$ 에서 오직 하나만 존재함을 보이면	15점

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