자연계열 II 2번

【2-1】$\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=n,\overline{\mathrm{CR}}=m$이라 하면 제시문 (라)로부터 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{C}\left(\frac{mx_1+n(1-a)}{m+n},\frac{my_1+n(1-2a)}{m+n}\right)$가 된다. 여기서 점 $\displaystyle \mathrm{C}$는 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{R}$와 다르므로 $\displaystyle n,m>0$이고, $\displaystyle r=\frac mn$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{C}\left(\frac{1-a+rx_1}{1+r},\frac{1-2a+ry_1}{1+r}\right)$이다. 또 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=k,\overline{\mathrm{DR}}=l$이라 했을 때 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{D}\left(\frac{lx_1+k(1+a)}{l+k},\frac{ly_1+k(1+2a)}{l+k}\right)$가 된다. 여기서 여기서 점 $\displaystyle \mathrm{D}$는 두 점 $\displaystyle \mathrm{B},\mathrm{R}$와 다르므로 $\displaystyle k,l>0$이고, $\displaystyle s=\frac lk$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{D}\left(\frac{1+a+sx_1}{1+s},\frac{1+2a+sy_1}{1+s}\right)$이다.

【2-2】$\displaystyle (1-2a)-(1-a)^2=-a^2\ne0,\ (1+2a)-(1+a)^2=-a^2\ne0$이므로 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$는 곡선 $\displaystyle y=x^2$위의 점이 아니다. 또한 조건 (Ⅱ)에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{R}$도 곡선 $\displaystyle y=x^2$위의 점이 아니다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 곡선 $\displaystyle y=x^2$위의 점이면서 선분 $\displaystyle \mathrm{AR}$위의 점이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{R}$와 다르다. 따라서【2-1】에 의해 어떤 $\displaystyle r_0>0$에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac{1-a+r_0x_1}{1+r_0},\frac{1-2a+r_0y_1}{1+r_0}\right)$으로 나타낼 수 있다. 마찬가지로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 두 점 $\displaystyle \mathrm{B},\mathrm{R}$와 다르고,【2-1】에 의해 어떤 $\displaystyle s_0>0$에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{Q}\left(\frac{1+a+s_0x_1}{1+s_0},\frac{1+2a+s_0y_1}{1+s_0}\right)$으로 나타낼 수 있다. 이제 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$가 곡선 $\displaystyle y=x^2$위의 점이므로 $\displaystyle r_0$는 $\displaystyle (1-a+r_0x_1)^2-(1+r_0)(1-2a+r_0y_1)=0$, $\displaystyle s_0$는 $\displaystyle (1+a+s_0x_1)^2-(1+s_0)(1+2a+s_0y_1)=0$을 만족한다. 만약 $\displaystyle r_1$이 방정식 $\displaystyle f(r)=0$의 양의 실근이고 $\displaystyle r_0\ne r_1$이면 점 $\displaystyle \left(\frac{1-a+r_1x_1}{1+r_1},\frac{1-2a+r_1y_1}{1+r_1}\right)$은 선분 $\displaystyle \mathrm{AR}$의 $\displaystyle 1:r_1$ 내분점이면서 곡선 $\displaystyle y=x^2$위의 점인, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 아닌 점이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{AR}$와 곡선 $\displaystyle y=x^2$의 교점이 오직 하나 존재함에 모순이며, 마찬가지로 방정식 $\displaystyle g(s)=0$의 서로 다른 두 양의 실근이 존재한다면 선분 $\displaystyle \mathrm{BR}$와 곡선 $\displaystyle y=x^2$의 교점이 오직 하나 존재함에 모순이다. 따라서 방정식 $\displaystyle f(r)=0$과 $\displaystyle g(s)=0$은 각각 양의 실근이 오직 하나 존재한다.

【2-3】(Ⅱ)로부터 $\displaystyle x_1^2\ne y_1$이다. 만약 $\displaystyle x_1^2>y_1$이면 함수 $\displaystyle f(r)$과 함수 $\displaystyle g(s)$는 $\displaystyle f(0)=g(0)=a^2$와 $\displaystyle f(r_0)=g(s_0)=0$을 만족하는, 최고차항의 계수가 $\displaystyle x_1^2-y_1$인 이차함수이다. 그러면 문제【2-2】로부터 $\displaystyle r_0$는 $\displaystyle f(r)=0$의 중근이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표가 $\displaystyle \mathrm{P}(p,p^2)$이므로 $\displaystyle 0=f^{\prime}(r_0)=2x_1(1-a+r_0x_1)-(1-2a+r_0y_1)-(1+r_0)y_1=(1+r_0)(2px_1-p^2-y_1)$이고, 따라서 $\displaystyle y_1=2px_1-p^2$로부터 점 $\displaystyle \mathrm{R}(x_1,y_1)$은 곡선 $\displaystyle y=x^2$의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(p,p^2)$에서의 접선 위에 있다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$는 직선 $\displaystyle \mathrm{PR}$위에 있으므로 $\displaystyle 0=1-2a-\{2p(1-a)-p^2\}=(p-1)(p-1+2a)$을 얻고, (Ⅰ)로부터 $\displaystyle p<1$이므로 $\displaystyle p=1-2a$이어야만 한다. 마찬가지로 $\displaystyle 0=g^{\prime}(s_0)=(1+s_0)(2qx_1-q^2-y_1)$으로부터 $\displaystyle y_1=2qx_1-q^2$을 얻고, 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{R}(x_1,y_1)$은 곡선 $\displaystyle y=x^2$의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(q,q^2)$에서의 접선 위에 있다. 그러면 점 $\displaystyle \mathrm{B}$도 한 직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$위에 있으므로 $\displaystyle 1+2a=2q(1+a)-q^2$으로부터 $\displaystyle (q-1)(q-1-2a)=0$을 얻고, (Ⅰ)로부터 $\displaystyle q>1$이므로 $\displaystyle q=1+2a$이다. 그러나 이 경우 점 $\displaystyle \mathrm{R}$는 직선 $\displaystyle y=2(1-2a)x-(1-2a)^2$과 직선 $\displaystyle y=2(1+2a)x-(1+2a)^2$의 교점인 점 $\displaystyle (1,1-4a^2)$이 되어야만 하는데, 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{P},\mathrm{R}$의 $\displaystyle x$좌표가 각각 $\displaystyle 1-a,1-2a,1$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{AR}$위에 존재할 수 없어 모순이 발생한다. 따라서 $\displaystyle x_1^2<y_1$이다.

【2-4】두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$는 곡선 $\displaystyle y=x^2$의 점 $\displaystyle \mathrm{M}(1,1)$에서의 접선 $\displaystyle y=2(x-1)+1$ 위에 있다. 만약 $\displaystyle 1-a<p<1$이면 $\displaystyle S_{\mathrm{APM}}=\frac{(p-1+a)\{p^2-(2p-1)\}}2+\int_p^1\{x^2-(2x-1)\}dx=\frac{a(1-p)^2}2-\frac{(1-p)^3}6$이고, $\displaystyle p\le1-a$이면 $\displaystyle S_{\mathrm{APM}}\ge\int_{1-a}^1\{x^2-(2x-1)\}dx=\frac{a^3}3$이다. 마찬가지로 만약 $\displaystyle 1<q<1+a$이면 $\displaystyle S_{\mathrm{BQM}}=\frac{(1+a-q)\{q^2-(2q-1)\}}2+\int_1^q\{x^2-(2x-1)\}dx=\frac{a(q-1)^2}2-\frac{(q-1)^3}6$이고, $\displaystyle q\ge1+a$이면 $\displaystyle S_{\mathrm{BQM}}\ge\int_1^{1+a}\{x^2-(2x-1)\}dx=\frac{a^3}3$이다.

만약 $\displaystyle x_1\le1-a$라면 $\displaystyle p=\frac{1-a+r_0x_1}{1+r_0}\le1-a$와 $\displaystyle 1<q=\frac{1+a+s_0x_1}{1+s_0}<1+a$이므로 $\displaystyle S_{\mathrm{APM}}\ge\frac{a^3}3$과 $\displaystyle S_{\mathrm{BQM}}=\frac{a(q-1)^2}2-\frac{(q-1)^3}6$인데, 함수 $\displaystyle h(x)=\frac{ax^2}2-\frac{x^3}6$은 열린구간 $\displaystyle (0,2a)$에서 증가하므로 $\displaystyle S_{\mathrm{BQM}}=h(q-1)<h(a)=\frac{a^3}3\le S_{\mathrm{APM}}$이다. 마찬가지로 만약 $\displaystyle x_1\ge1+a$이면 $\displaystyle 1-a<p<1$과 $\displaystyle q\ge1+a$이므로 $\displaystyle S_{\mathrm{BQM}}\ge\frac{a^3}3=h(a)>h(1-p)=S_{\mathrm{APM}}$이다.

따라서 $\displaystyle S_{\mathrm{APM}}=S_{\mathrm{BQM}}$이기 위해서는 $\displaystyle 1-a<x_1<1+a$이어야만 하며, $\displaystyle 1-a<p=\frac{1-a+r_0x_1}{1+r_0}<1<q=\frac{1+a+s_0x_1}{1+s_0}<1+a$가 된다. 이때 $\displaystyle h(1-p)=S_{\mathrm{APM}}=S_{\mathrm{BQM}}=h(q-1)$이므로 $\displaystyle 1-p=q-1$이다.

이제 $\displaystyle \beta=1-p=q-1$이라 두면 $\displaystyle 0<\beta<a$이고 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$의 방정식은 $\displaystyle y=\left(\frac{\beta^2}{a-\beta}+2\right)(x-1+a)+(1-2a)$이며, 직선 $\displaystyle \mathrm{BQ}$의 방정식은 $\displaystyle y=\left(\frac{-\beta^2}{a-\beta}+2\right)(x-1-a)+(1+2a)$이므로 두 직선의 교점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left(1,1+\frac{a\beta^2}{a-\beta}\right)$이다. 이때 $\displaystyle S_{\Delta\mathrm{ABR}}=\frac{a^2\beta^2}{a-\beta}$이고 $\displaystyle S_{\mathrm{APM}}=S_{\mathrm{BQM}}=\frac{a\beta^2}2-\frac{\beta^3}6$이므로 $\displaystyle \frac13=\frac{S_{\mathrm{APM}}}{S_{\Delta\mathrm{ABR}}}=\frac{(3a-\beta)(a-\beta)}{6a^2}$이며, 따라서 $\displaystyle \beta=(2-\sqrt3)a=(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left(1,1+\frac{a}{a-1}\right)=\left(1,\frac{3+\sqrt3}{2}\right)$이다.