자연계열 3-3번

[제시문 3]

(나) 바이올린이나 가야금과 같은 현악기는 양 끝을 고정시킨 줄을 진동시켜서 소리를 낸다. 줄의 양 끝이 고정되어 팽팽히 당겨진 줄을 진동시키면 입사파와 양 끝에서 반사하는 반사파가 중첩하여 합성파가 만들어진다. 합성된 파동은 진폭이 0인 점과 진폭이 최대인 점의 위치가 고정된다. 따라서 합성된 파동은 어느 쪽으로도 진행하지 않고 한 곳에서 일정한 진폭으로 진동하는 파동이 된다. 이와 같은 파동을 정상파라고 한다. 정상파에서 진폭이 최대가 되는 곳을 배, 진폭이 0인 점을 마디라고 한다. 정상파 중에서 파장이 가장 긴 것을 기본진동이라 하며 양 끝이 고정된 줄에서의 정상파는 양 끝에 마디가 생기므로 기본진동의 파장은 줄의 길이의 두 배와 같다. 기본진동보다 파장이 짧은 정상파도 발생할 수 있는데 이를 배진동이라 한다. 줄 위의 정상파의 경우 줄의 길이가 반파장의 정수배가 될 때이다. 양끝이 고정된 줄이 만드는 정상파를 수학적으로 표현할 때$\displaystyle u_n(x,t)=\left(A\cos\frac{nc\pi t}L+B\sin\frac{nc\pi t}L\right)\sin\frac{n\pi x}L$과 같은 함수가 쓰인다. 여기에서 $\displaystyle L$ 은 줄의 길이를 나타내며 $\displaystyle c$ 는 줄의 재질에 따라 결정되는 상수이다.