자연계열 1번

(1-1) 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle D(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}$이다.

(1-2) 경찰차와 스포츠카는 각각 $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축의 음의 방향으로 움직이고 있으므로,$\displaystyle \frac{dx}{dt}=x^{\prime}(t)=-80(km/h)$이고, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=y^{\prime}(t)=-100(km/h)$이다.$\displaystyle D(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}=(x(t)^2+y(t)^2)^{\frac{1}{2}}$의 양변을 $\displaystyle t$에 관해 미분하면 연쇄법칙에 의해$\displaystyle \begin{aligned}D^{\prime}(t)&=\frac{1}{2}(x(t)^2+y(t)^2)^{-\frac{1}{2}}2\{x(t)x^{\prime}(t)+y(t)y^{\prime}(t)\}\\&=\frac{x(t)x^{\prime}(t)+y(t)y^{\prime}(t)}{\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}}\end{aligned}$이다. 여기에$\displaystyle x(t)=0.3(km)$, $\displaystyle x^{\prime}(t)=-80(km/h)$, $\displaystyle y(t)=0.4(km)$, $\displaystyle y^{\prime}(t)=-100(km/h)$을 대입하면,$\displaystyle D^{\prime}(t)=\frac{(0.3)(-80)+(0.4)(-100)}{\sqrt{\left(\frac{3}{10}\right)^2+\left(\frac{4}{10}\right)^2}}=(-64)(2)=-128(km/h)$이다. 그러므로 경찰의 스피드건에 측정된 속력은 $\displaystyle 128km/h$이다.

(1-3) 경찰차가 정지한 상태라면 문제 (1-2)에서 $\displaystyle x^{\prime}(t)=0$이므로,$\displaystyle D^{\prime}(t)=(-40)(2)=-80$ ($\displaystyle km/h$)이다. 그래서 이 경우에는 측정된 속력이 $\displaystyle 80km/h$이다.

(1-4) 정면에서 정지한 경찰차에서 달리는 스포츠카의 속력을 측정하면, 정확한 속력 $\displaystyle 100km/h$가 스피드건에 기록될 것이다. 문제 (1-2)에서와 같이 경찰차가 움직이는 상태에서 사선방향으로 스포츠카의 속력을 측정하면, $\displaystyle 128km/h$와 같은 부정확한 값이 스피드 건에 기록된다. 한편, 문제 (1-3)과 같이 경찰차가 정지한 상태라고 하더라도 사선방향에서 스포츠카의 속력을 측정하면, $\displaystyle 80km/h$와 같이 실제보다 느린 속력이 스피드건에 기록된다. 그러므로 과속을 단속할 때는 달리는 자동차의 정면에서 정지한 상태로 속력을 측정해야 정확한 값을 얻는다.