자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle 19$는 $\displaystyle 26$과 서로소이므로 제시문의 ㉡에 의해 역원이 존재한다. ㉡에 의해 $\displaystyle 26$과 서로소가 아닌 원소의 역원은 존재하지 않으므로, 그 원소는 $\displaystyle 19$의 역원이 될 수 없다. 따라서 $\displaystyle 26$과 서로소인 원소의 집합 $\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25\}$의 각 원소 $\displaystyle \alpha$에 대하여 $\displaystyle 19\cdot\alpha$의 값을 $\displaystyle 26$으로 나누었을 때 나머지가 $\displaystyle 1$이 되는지 검사한다. 검사결과 $\displaystyle 19\cdot11=26\cdot8+1$이므로 $\displaystyle 19^{-1}=11$이다.

(2-2) 암호화 과정으로부터 $\displaystyle K$에 대한 $\displaystyle 6$개의 관계식을 얻는다.$\displaystyle \begin{pmatrix}5&8\\6&7\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}21&25\\7&4\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}6&7\\19&8\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\5&3\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}19&8\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}5&3\\1&7\end{pmatrix},$$\displaystyle \begin{pmatrix}5&8\\19&8\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}21&25\\5&3\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}5&8\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}21&25\\1&7\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}6&7\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\1&7\end{pmatrix}.$첫째 줄 두 번째와 둘째 줄 세 번째 식을 제외한 관계식들은 모두 $\displaystyle K$ 앞에 곱해지는 행렬에 대한 역행렬이 존재하지 않으므로, 이들 관계식은 $\displaystyle K$를 찾는 데 사용할 수 없다.첫째 줄 두 번째 관계식 $\displaystyle \begin{pmatrix}6&7\\19&8\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\5&3\end{pmatrix}$에서 $\displaystyle \begin{pmatrix}6&7\\19&8\end{pmatrix}$의 역행렬은 문제 (2-1)에서 $\displaystyle 19^{-1}=11$이므로$\displaystyle 19^{-1}\begin{pmatrix}8&-7\\-19&6\end{pmatrix}=11\begin{pmatrix}8&-7\\-19&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&1\\-1&14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&1\\25&14\end{pmatrix}$이다. 따라서 $\displaystyle K=\begin{pmatrix}10&1\\25&14\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&4\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&17\\11&12\end{pmatrix}$이다.한편, 둘째 줄 세 번째 관계식 $\displaystyle \begin{pmatrix}6&7\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\1&7\end{pmatrix}$을 이용해도 $\displaystyle K=\begin{pmatrix}23&17\\11&12\end{pmatrix}$이다.

(2-3) 문제 (2-2)에서 $\displaystyle K=\begin{pmatrix}23&17\\11&12\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle 11^{-1}=19$이므로$\displaystyle K^{-1}=11^{-1}\begin{pmatrix}12&-17\\-11&23\end{pmatrix}=19\begin{pmatrix}12&9\\15&23\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}$이다. 암호문 "qdjqec"는 “$\displaystyle (16,3),(9,16),(4,2)$”이므로$\displaystyle (16,3)\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}=(5,17),\quad(9,16)\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}=(8,3),\quad(4,2)\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}=(0,24)$에 의해 결과 값이 “$\displaystyle (5,17),(8,3),(0,24)$”이므로 원래 메시지는 "friday"이다.