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자연계열 2번

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국민대 2014학년도 수시2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kookmin/2014su/jayeon_2

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【문제 2】【지정문제 2】(배점 27%)아래의 제시문을 읽고 다음 문제에 답하시오.

철수와 영희는 암호시스템을 이용한 둘만의 비밀통신을 원한다. 암호시스템은 26\displaystyle 26개의 영문 알파벳을 집합 A={0,1,2,⋯ ,25}\displaystyle A=\{0,1,2,\cdots,25\}의 각 원소에 대응시켜 암호화한다. A\displaystyle A에서의 연산과 역원은 다음과 같이 정의되어 있다.

㉠ A\displaystyle A의 임의의 두 원소 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta에 대하여 α+β\displaystyle \alpha+\beta, α−β\displaystyle \alpha-\beta, α⋅β\displaystyle \alpha\cdot\beta의 값은 각각의 계산결과를 26\displaystyle 26으로 나누었을 때의 나머지이다. 예를 들어, α=10\displaystyle \alpha=10, β=20\displaystyle \beta=20이라면, α+β=30=26⋅1+4\displaystyle \alpha+\beta=30=26\cdot1+4, α−β=−10=26⋅(−1)+16\displaystyle \alpha-\beta=-10=26\cdot(-1)+16, α⋅β=200=26⋅7+18\displaystyle \alpha\cdot\beta=200=26\cdot7+18이므로 α+β=4\displaystyle \alpha+\beta=4, α−β=16\displaystyle \alpha-\beta=16, α⋅β=18\displaystyle \alpha\cdot\beta=18이다.

㉡ A\displaystyle A의 임의의 원소 α\displaystyle \alpha에 대하여 α⋅β=1\displaystyle \alpha\cdot\beta=1을 만족하는 β\displaystyle \beta가 A\displaystyle A에 존재하면, β\displaystyle \beta를 α\displaystyle \alpha의 역원이라 하고 α−1\displaystyle \alpha^{-1}로 나타낸다. α\displaystyle \alpha와 26\displaystyle 26이 서로소이면 α−1\displaystyle \alpha^{-1}가 존재하고, 그렇지 않으면 존재하지 않는다. 예를 들어, α=4\displaystyle \alpha=4라면 α−1\displaystyle \alpha^{-1}가 존재하지 않고, α=5\displaystyle \alpha=5이면 5⋅21=105=26⋅4+1\displaystyle 5\cdot21=105=26\cdot4+1이므로 5−1=21\displaystyle 5^{-1}=21이다.

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
012345678910111213141516171819202122232425

철수와 영희는 암호시스템 사용을 위하여 영문 알파벳을 위의 표와 같이 집합 A\displaystyle A의 원소에 대응시킨다. 두 사람은 각 성분이 A\displaystyle A의 원소이고 역행렬이 존재하는 2×2\displaystyle 2\times2 행렬 K\displaystyle K를 비밀로 간직하면서 다양한 메시지의 암호화에 계속 사용한다. 철수가 영희에게 “fighting”이라는 메시지를 비밀로 보내는 과정을 예로 들면 다음과 같다.

[철수] 표를 이용하여 메시지 “fighting”을 “(5,8),(6,7),(19,8),(13,6)\displaystyle (5,8),(6,7),(19,8),(13,6)”으로 바꾼다. K\displaystyle K를 사용하여 행렬의 곱(5,8)K=(21,25),(6,7)K=(7,4),(19,8)K=(5,3),(13,6)K=(1,7)\displaystyle (5,8)K=(21,25),\quad(6,7)K=(7,4),\quad(19,8)K=(5,3),\quad(13,6)K=(1,7)을 통한 결과 값 “(21,25),(7,4),(5,3),(1,7)\displaystyle (21,25),(7,4),(5,3),(1,7)”을 얻는다. 이를 다시 알파벳으로 바꾼 암호문 “vzhefdbh”를 영희에게 보낸다.

[영희] 받은 암호문 “vzhefdbh”를 바꾼 “(21,25),(7,4),(5,3),(1,7)\displaystyle (21,25),(7,4),(5,3),(1,7)”과 K\displaystyle K의 역행렬 K−1\displaystyle K^{-1}를 이용하여 행렬의 곱(21,25)K−1=(5,8),(7,4)K−1=(6,7),(5,3)K−1=(19,8),(1,7)K−1=(13,6)\displaystyle (21,25)K^{-1}=(5,8),\quad(7,4)K^{-1}=(6,7),\quad(5,3)K^{-1}=(19,8),\quad(1,7)K^{-1}=(13,6)을 통한 결과 값 “(5,8),(6,7),(19,8),(13,6)\displaystyle (5,8),(6,7),(19,8),(13,6)”을 알파벳으로 바꾸어 메시지 “fighting”을 얻는다.

(2-1) 집합 A\displaystyle A의 원소 19\displaystyle 19의 역원을 찾으시오.

(2-2) 암호시스템을 알고 있으나 K\displaystyle K를 모르는 제 3자가 메시지 “fighting”이 “vzhefdbh”로 암호화 되었다는 정보를 입수했다고 하자. 이 경우 제 3자는 K\displaystyle K를 찾아냄으로써 모든 암호문을 해독할 수 있게 된다. K\displaystyle K를 찾아내는 과정을 서술하시오.

(2-3) 문제 (2-2)에서 찾아낸 K\displaystyle K가 사용된 암호문이 "qdjqec" 일 때, 원래의 메시지를 찾으시오.

해설강의 준비중

국민대 2014학년도 수시2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kookmin/2014su/jayeon_2

20% · 【문제2-1】 개념 이해력 ․ 대수적 체계의 역원 개념을 정확하게 이해하여 역원을 계산할 수 있는가?

(2-1) 19\displaystyle 19는 26\displaystyle 26과 서로소이므로 제시문의 ㉡에 의해 역원이 존재한다. ㉡에 의해 26\displaystyle 26과 서로소가 아닌 원소의 역원은 존재하지 않으므로, 그 원소는 19\displaystyle 19의 역원이 될 수 없다. 따라서 26\displaystyle 26과 서로소인 원소의 집합 {1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25}\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25\}의 각 원소 α\displaystyle \alpha에 대하여 19⋅α\displaystyle 19\cdot\alpha의 값을 26\displaystyle 26으로 나누었을 때 나머지가 1\displaystyle 1이 되는지 검사한다. 검사결과 19⋅11=26⋅8+1\displaystyle 19\cdot11=26\cdot8+1이므로 19−1=11\displaystyle 19^{-1}=11이다.

40% · 【문제2-2】 분석적 사고력 / 문제해결능력 ․ 메시지와 대응하는 암호문을 이용하여 비밀정보에 관한 관계식을 유도할 수 있는가? ․ 대수적 체계에 대한 이해력을 바탕으로 비밀정보를 찾을 수 있는가?

(2-2) 암호화 과정으로부터 K\displaystyle K에 대한 6\displaystyle 6개의 관계식을 얻는다.(5867)K=(212574),(67198)K=(7453),(198136)K=(5317),\displaystyle \begin{pmatrix}5&8\\6&7\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}21&25\\7&4\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}6&7\\19&8\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\5&3\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}19&8\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}5&3\\1&7\end{pmatrix},(58198)K=(212553),(58136)K=(212517),(67136)K=(7417).\displaystyle \begin{pmatrix}5&8\\19&8\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}21&25\\5&3\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}5&8\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}21&25\\1&7\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}6&7\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\1&7\end{pmatrix}.첫째 줄 두 번째와 둘째 줄 세 번째 식을 제외한 관계식들은 모두 K\displaystyle K 앞에 곱해지는 행렬에 대한 역행렬이 존재하지 않으므로, 이들 관계식은 K\displaystyle K를 찾는 데 사용할 수 없다.첫째 줄 두 번째 관계식 (67198)K=(7453)\displaystyle \begin{pmatrix}6&7\\19&8\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\5&3\end{pmatrix}에서 (67198)\displaystyle \begin{pmatrix}6&7\\19&8\end{pmatrix}의 역행렬은 문제 (2-1)에서 19−1=11\displaystyle 19^{-1}=11이므로19−1(8−7−196)=11(8−7−196)=(101−114)=(1012514)\displaystyle 19^{-1}\begin{pmatrix}8&-7\\-19&6\end{pmatrix}=11\begin{pmatrix}8&-7\\-19&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&1\\-1&14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&1\\25&14\end{pmatrix}이다. 따라서 K=(1012514)(7453)=(23171112)\displaystyle K=\begin{pmatrix}10&1\\25&14\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7&4\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&17\\11&12\end{pmatrix}이다.한편, 둘째 줄 세 번째 관계식 (67136)K=(7417)\displaystyle \begin{pmatrix}6&7\\13&6\end{pmatrix}K=\begin{pmatrix}7&4\\1&7\end{pmatrix}을 이용해도 K=(23171112)\displaystyle K=\begin{pmatrix}23&17\\11&12\end{pmatrix}이다.

40% · 【문제2-3】 분석적 사고력 / 문제해결능력 / 응용력 ․ 주어진 암호문에 대응하는 원래 메시지를 찾기 위한 관계식을 유도할 수 있는가? ․ 정의된 대수적 체계의 연산을 응용하여 행렬에 대한 역행렬을 계산할 수 있는가?

(2-3) 문제 (2-2)에서 K=(23171112)\displaystyle K=\begin{pmatrix}23&17\\11&12\end{pmatrix}이고 11−1=19\displaystyle 11^{-1}=19이므로K−1=11−1(12−17−1123)=19(1291523)=(20152521)\displaystyle K^{-1}=11^{-1}\begin{pmatrix}12&-17\\-11&23\end{pmatrix}=19\begin{pmatrix}12&9\\15&23\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}이다. 암호문 "qdjqec"는 “(16,3),(9,16),(4,2)\displaystyle (16,3),(9,16),(4,2)”이므로(16,3)(20152521)=(5,17),(9,16)(20152521)=(8,3),(4,2)(20152521)=(0,24)\displaystyle (16,3)\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}=(5,17),\quad(9,16)\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}=(8,3),\quad(4,2)\begin{pmatrix}20&15\\25&21\end{pmatrix}=(0,24)에 의해 결과 값이 “(5,17),(8,3),(0,24)\displaystyle (5,17),(8,3),(0,24)”이므로 원래 메시지는 "friday"이다.

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