인문계열 4번

【4】한 변의 길이가 1인 정사각형 모양의 장치가 있는데 마주보는 두 변에 그림과 같이 거울이 설치되어 있다. (가) 지점에서 발사 각도를 일정한 규칙에 따라 변화시키면서 레이저 신호를 거울에 반사되게 하여 (나) 지점에 도달하도록 하는 실험을 하고 있다. 첫 번째 발사에서 레이저의 궤적은 그림과 같다.

이 궤적을 어떤 함수 $\displaystyle f$의 주어진 구간에서의 그래프라고 하자. $\displaystyle n$번째 발사에서 레이저의 궤적은 $\displaystyle f$를 $\displaystyle n$번 합성한 함수의 그래프와 같다.

이 실험을 통하여 다양한 수열을 관찰할 수 있다. 예를 들어 $\displaystyle n$번째 발사된 레이저의 (가)에서 (나)까지 궤적의 길이를 일반항으로 가지는 수열을 생각할 수 있다. 이와 같이 위의 실험에서 유도할 수 있는 수열을 사용하여 수렴하는 무한급수와 발산하는 무한급수의 예를 각각 하나씩 들고 수렴, 발산하는 이유를 설명하시오.

(단, 상수로 이루어진 수열은 제외한다. 그리고 지문에 있는 예는 사용하지 마시오.)