자연계열 1번

고려대 서울캠퍼스 2009학년도 수시 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2009su_2/jayeon_1

(가)삼차정사각행렬 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 에 대하여 다음 등식이 성립한다. $\displaystyle A\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ ,　 $\displaystyle B\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&\frac{1}{2}\\-1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ .

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 좌표공간 위의 점 $\displaystyle P_n(a_n,b_n,c_n)$ 과 $\displaystyle Q_n(d_n,e_n,f_n)$ 의 성분이 다음 등식에 의해 정의된다. $\displaystyle A^n\begin{pmatrix}7\\5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}$ ,　 $\displaystyle B^n\begin{pmatrix}7\\5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_n\\e_n\\f_n\end{pmatrix}$ .

논제 1.

(a) 원점 $\displaystyle O$ 와 세 점 $\displaystyle R(1,0,0)$ , $\displaystyle S(1,1,0)$ , $\displaystyle T(1,1,1)$ 에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{OP_n}=x_n\overrightarrow{OR}+y_n\overrightarrow{OS}+z_n\overrightarrow{OT}$ 를 만족하는 실수 $\displaystyle x_n,y_n,z_n$ 을 찾으시오.

(b) 원점 $\displaystyle O$ 와 두 점 $\displaystyle P_n$ , $\displaystyle P_{n+1}$ 에 의하여 만들어지는 삼각형 $\displaystyle OP_nP_{n+1}$ 의 둘레의 길이를 $\displaystyle \ell_n$ 이라고 할 때, 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ell_n$ 의 값을 구하시오.

(c) 원점 $\displaystyle O$ 와 세 점 $\displaystyle P_n$ , $\displaystyle Q_n$ , $\displaystyle Q_{n+1}$ 에 의하여 만들어지는 사면체 $\displaystyle OP_nQ_nQ_{n+1}$ 의 부피를 $\displaystyle V_n$ 이라고 할 때, 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}V_n$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

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