자연계열 2번

(나)그림 1에서 $\displaystyle xy$평면 위의 $\displaystyle x^2+y^2\le1$을 만족하는 영역을 $\displaystyle x$축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 $\displaystyle A$라고 한다.

그림 2에서 $\displaystyle xy$평면 위의 $\displaystyle 0\le y\le a(1-x^2)$을 만족하는 영역을 $\displaystyle x$축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 $\displaystyle B$라고 한다. 단, $\displaystyle a$는 양의 실수이다.

그림 3은 그림 2에 표시된 영역을 $\displaystyle y$축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체를 나타낸다. 이 회전체를 $\displaystyle z$축에 수직인 평면 $\displaystyle z=k\ (-1\le k\le1)$로 자른 단면을 $\displaystyle R_k$라고 할 때, $\displaystyle R_k$는 평면 $\displaystyle z=k$에서$\displaystyle 0\le y\le a(1-k^2-x^2)$을 만족하는 영역임을 알 수 있다. 그림 3에 나타난 회전체를 다시 $\displaystyle z$축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피를 $\displaystyle C$라고 한다.