자연계열 1번

(가)그림 1과 같이 곡선 $\displaystyle y=x^2+1$위에 두 점 $\displaystyle P_1(a_1,a_1^2+1)$과 $\displaystyle P_2(a_2,a_2^2+1)$가 있다. (단 $\displaystyle a_1<0<a_2$이고 $\displaystyle a_1+a_2\ne0$이다.) 점 $\displaystyle P_1$에서의 접선과 점 $\displaystyle P_2$에서의 접선 그리고 곡선에 의해 둘러싸인 부분을 $\displaystyle S$라 하자. 점 $\displaystyle P_1$에서의 접선과 $\displaystyle x$축과의 교점을 $\displaystyle Q_1$, 점 $\displaystyle P_1$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle R_1$, 그리고 각 $\displaystyle \angle Q_1P_1R_1$의 이등분선이 $\displaystyle x$축과 만나는 교점을 $\displaystyle T_1$이라 하자.

또한 두 점 $\displaystyle P_1$과 $\displaystyle P_2$로부터 시작해서 곡선 위의 점 $\displaystyle P_{n+2}$ ($\displaystyle n\ge1$)를 그 점에서의 접선이 직선 $\displaystyle P_nP_{n+1}$과 평행이 되도록 계속 반복해서 택하여 나간다고 하자. 그림 2는 이렇게 얻어지는 세 점 $\displaystyle P_n$, $\displaystyle P_{n+1}$, $\displaystyle P_{n+2}$를 표시한 것이다. 이 세 점으로 만들어진 삼각형 $\displaystyle \triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$의 넓이를 $\displaystyle A_n$이라 하고 선분 $\displaystyle \overline{P_nP_{n+1}}$과 선분 $\displaystyle \overline{P_{n+1}P_{n+2}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta_n$이라 하자.