인문계열 3번

Ⅲ. 다음 문제에 답하시오.

a. 어느 국가에서 $\displaystyle n$년도에 65세 이상 인구에게 지급해야 하는 연금 총액은 $\displaystyle a_n=n\times2030^n$이고 의료비 총액은 $\displaystyle b_n=2031^n$이다. 연금 총액에 대한 의료비 총액의 비 $\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$이 최대가 되는 해는 몇 연도인가? (15점)Caution. 최댓값이나 최솟값을 구할 때는 그 값이 실제로 존재하는지 확인해야 한다: 주어진 비는 $\displaystyle \frac{b_n}{a_n}=\frac1n\left(\frac{2031}{2030}\right)^n$이며, $\displaystyle n$이 커지면 한없이 커지므로 최댓값이 없다. 따라서 원문에 적힌 최대가 되는 해는 존재하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

b. 노령화지수는 유소년 인구(14세 이하의 인구)에 대한 65세 이상 인구의 비이다. 그리고 노년부양비는 생산 가능 인구(15세 이상 64세 이하의 인구)에 대한 65세 이상 인구의 비이다. 시점 $\displaystyle x$에서의 노년부양비를 $\displaystyle f(x)$라고 하자. 여기에서 $\displaystyle f(x)$는 실수 전체의 집합 $\displaystyle R$에서 $\displaystyle R$로의 함수라고 가정한다. 어느 국가의 노령화지수가 (노령화지수)=(노년부양비)$\displaystyle ^2$을 만족하고, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle R$에서의 일대일 함수라고 가정하면, (노년부양비−노령화지수)$\displaystyle <\frac{1}{4}$이 되는 시점 $\displaystyle x$가 항상 존재함을 설명하시오. (10점)