자연계열 2번

(a)

$\displaystyle Y$의 원소 $\displaystyle C_1$과 $\displaystyle C_2$가 $\displaystyle C_1\subset C_2$를 만족한다고 하자. $\displaystyle x\in F(C_1)$이면 $\displaystyle x=f(y)$를 만족하는 $\displaystyle y\in C_1$이 존재한다. $\displaystyle y\in C_1$이므로 $\displaystyle y\in C_2$이고 $\displaystyle x=f(y)\in F(C_2)$이다. 따라서 $\displaystyle F(C_1)\subset F(C_2)$이다.

(b)

$\displaystyle Y$의 원소 $\displaystyle D$가 $\displaystyle F(D)=D$를 만족한다고 하자. (a)를 이용하면 수학적 귀납법에 의해$\displaystyle B_n\supset B_{n+1},\quad n=1,2,\ldots$를 보일 수 있다. 다시 수학적 귀납법에 의해$\displaystyle D\subset B_n,\quad n=1,2,\ldots$를 보일 수 있다. 따라서 $\displaystyle D\subset B$이다.

(c)

$\displaystyle X=R$이고 $\displaystyle f(x)=-\sin\frac{x}{2}$일 때, 수학적 귀납법을 이용하여$\displaystyle B_n\subset[-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}],\quad n=2,3,\ldots$을 보일 수 있다. 즉 $\displaystyle B_1=R$이고 $\displaystyle B_2=[-1,1]$이므로 $\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle B_n\subset[-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}]$이다. 그리고 2 이상의 어떤 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle B_n\subset[-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}]$이면$\displaystyle B_{n+1}\subset F([-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}])$이다. $\displaystyle x\in F([-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}])$이면 $\displaystyle x=f(y)=-\sin y$를 만족하는 $\displaystyle y\in[-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}]$가 존재한다. 따라서Correction. $\displaystyle x=f(y)=-\sin y$는 $\displaystyle x=f(y)=-\sin\frac y2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle |x|=\sin\frac{|y|}{2}\le\frac{1}{2}|y|\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$이며$\displaystyle B_{n+1}\subset F([-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}])\subset[-(1/2)^{n-1},(1/2)^{n-1}]$이 성립한다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 2 이상의 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle B_n\subset[-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}]$가 성립한다.

그러므로$\displaystyle B=\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n\subset\bigcap_{n=1}^{\infty}[-(1/2)^{n-2},(1/2)^{n-2}]=\{0\}$이다. (b)에 의해 $\displaystyle F(A)=A$를 만족하는 $\displaystyle A$는 $\displaystyle A\subset B$를 만족하므로 $\displaystyle A=\varnothing$ 또는 $\displaystyle A=\{0\}$이다. $\displaystyle A=\varnothing$와 $\displaystyle A=\{0\}$ 두 경우 모두 $\displaystyle F(A)=A$를 만족함을 확인할 수 있다.