인문계열 2번

(4)

동관이 살았던 은척읍의 인구수는 매우 크고 짝수이다. 그곳 사람들은 매 시기 두 사람씩 무작위로 짝을 지어 만나는데, 두 사람이 만나면 각자는 상대방에게 선행을 베풀거나 그렇지 않을 수 있다. 두 사람이 만날 때마다 선행을 한 사람은 $\displaystyle c(>0)$만큼 손실을 보고 선행을 받은 사람은 $\displaystyle b(>c)$만큼 이익을 본다. $\displaystyle t$기에 어떤 사람에 대한 평판의 좋고 나쁨은 그 사람이 $\displaystyle t-1$기에서 다른 사람에게 선행을 했는지 여부에 따라 결정된다. 0기를 제외한 매 시기에 임의로 만난 두 사람은 항상 상대방의 평판에 대해 잘 알고 있다고 가정한다.

은척읍의 사람들은 세 가지 유형으로 나뉜다. 그 유형들은, 만나는 상대방에게 항상 선행을 하는 이타주의자들로 이루어진 ‘유형 I’, 만나는 상대방에게 항상 선행을 하지 않는 이기주의자들로 이루어진 ‘유형 II’, 그리고 평판이 좋은 상대방에게는 선행을 하지만 평판이 나쁜 상대방에게는 선행을 하지 않는 상호주의자들로 이루어진 ‘유형 III’이다. 상호주의자는 상대방의 평판을 전혀 모르는 0기에는 항상 상대방에게 선행을 한다. 유형 I, 유형 II, 유형 III의 사람들의 비율은 시기별로 변화가 없고 모두 $\displaystyle \frac{1}{3}$로 같다. 은척읍의 인구 규모는 매우 크므로 각 유형의 인구 비율은 어떤 사람이 각 유형의 사람을 상대방으로 만날 확률이기도 하다.

$\displaystyle t$기에 평판이 좋은 사람들의 비율을 $\displaystyle p_t$라 하면 다음의 (식 1)이 성립한다.

(식 1) $\displaystyle p_{t+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}p_t$, 단 $\displaystyle t\geq1$이다.

임의의 유형 I, 유형 II, 유형 III의 사람이 $\displaystyle t(\geq1)$기에 얻게 되는 순이익의 기댓값을 각각 $\displaystyle P_t^I$, $\displaystyle P_t^{II}$, $\displaystyle P_t^{III}$라 하자. 이기주의자(유형 II)는 어떤 유형의 상대방을 만나도 손실을 전혀 보지 않는 반면 이타적인 상대방(유형 I)을 만나면 이익을 얻게 된다. 그런데 이기주의자가 이타적인 상대방을 만날 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3}$이므로 이기주의자가 $\displaystyle t(\geq1)$기에 얻게 되는 순이익(=이익-손실)의 기댓값은 $\displaystyle P_t^{II}=\frac{1}{3}b$이다. 동일한 논리를 사용하여 $\displaystyle P_t^I$와 $\displaystyle P_t^{III}$를 구할 수 있다.