자연계열 1번

논제 1: 수학 (필수)

제시문 (가)와 (나)를 읽고 다음 물음에 답하시오.

(a) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 $\displaystyle S$에 속할 때, 집합 $\displaystyle \{n\mid d(a_n)=10\}$의 원소의 개수는 최대 몇 개인가?

(b) $\displaystyle r$이 양의 유리수이고 $\displaystyle b_n=d(2nr)$이라 하자. $\displaystyle n$이 무한대로 갈 때 수열 $\displaystyle \{b_n\}$이 수렴할 $\displaystyle r$의 조건을 찾으시오.

(c) $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 서로소인 자연수이고, $\displaystyle f$는 주기가 $\displaystyle p$인 주기함수일 때 $\displaystyle \sum_{k=1}^pf(k)=\sum_{k=1}^pf(kq)$가 성립함을 설명하시오.

(d) $\displaystyle a_n=\frac{n}{3n+10}$이고 $\displaystyle g(x)=\left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)^{10}$일 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{d(a_n)}\sum_{k=1}^{d(a_n)}g(ka_n)$을 구하시오. (단, $\displaystyle [x]$는 $\displaystyle x$를 넘지 않는 최대 정수이다.)