인문계열 2번

④

한 마을에 총 11명의 주민이 살고 있으며 주민들은 각각 0부터 10 사이의 소득을 1씩 다른 크기로 순차적으로 가지고 있다. $\displaystyle i$번째 주민의 소득을 $\displaystyle w_i$로 표기하자. 그러면 첫 번째 주민의 소득은 $\displaystyle w_1=0$, 두 번째 주민의 소득은 $\displaystyle w_2=1$, 그리고 11번째 주민의 소득은 $\displaystyle w_{11}=10$이다.

(가) 마을 자치회는 소득세를 걷는데, 소득이 $\displaystyle w_i$인 주민이 $\displaystyle t$의 세율에서 얻게 되는 만족도는 $\displaystyle f_i(t)=(1-t)w_i-0.2(tm-m)^2+10$이다. 단, $\displaystyle m$은 마을 주민 전체의 평균소득이며, $\displaystyle t$는 0과 1 사이의 실수이다. 두 개의 서로 다른 세율에 대한 제안이 있으면 각 주민은 자신의 만족도를 더 크게 하는 세율을 선호한다. 마을 자치회는 과반수의 주민들이 선호하는 세율을 채택한다.

(나) 소득세율에 대한 주민들의 선호도를 조사하기 위해 모든 주민들이 참여하는 여론 조사를 매월 한 번 실시한다. 여론 조사에 응답할 때 $\displaystyle i$번째 주민은 직접적인 만족도인 $\displaystyle f_i(t)$뿐만 아니라 지난달 여론 조사에서 그 세율을 선호한다고 답한 사람들의 비율에도 영향을 받는다. 임의의 두 세율 $\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$에 대해 지난달 여론 조사에서 $\displaystyle t_1$을 $\displaystyle t_2$보다 선호한다고 답한 사람들의 비율이 $\displaystyle x$라면, 이번 달에 $\displaystyle i$번째 주민이 $\displaystyle t_1$을 선호한다고 답할 때 얻는 총 만족도는 $\displaystyle f_i(t_1)+2x$이고, $\displaystyle t_2$를 선호한다고 답할 때 얻는 총 만족도는 $\displaystyle f_i(t_2)+2(1-x)$이다. 주민은 여론 조사에서 자신의 총 만족도를 더 크게 하는 세율을 선호한다고 응답한다. 단, 첫째 달의 $\displaystyle x$값은 임의로 주어진다.