자연계열 2번

[1] ① $\displaystyle n=1$이라 하자. 그러면 $\displaystyle x_0 = f(x_0 ), ~ x_2 = f(x_1 )$, 평균값의 정리, 조건식 (1.1)로부터

$\displaystyle | x_2 - x_0 | = |f(x_1 ) - f(x_0 ) | = | f^{\prime} (c_1 ) (x_1 - x_0 )| < r |x_1 - x_0 |$

을 얻는다. (단, $\displaystyle c_1$은 $\displaystyle x_0$과 $\displaystyle x_1$사이의 수이다.) 따라서 $\displaystyle n=1$일 때 주어진 부등식은 성립한다.

② $\displaystyle n= k$일 때 $\displaystyle | x_{k+1} - x_0 | < r^k |x_1 - x_0 |$이 성립한다고 가정하자. 이때 $\displaystyle n= k+1$이면 $\displaystyle x_0 = f(x_0 ),$ $\displaystyle ~x_{k+2} = f( x_{k+1})$, 평균값의 정리, 조건식 (1.1), 그리고 가정에 의해 다음을 얻는다. (단, $\displaystyle c$는 $\displaystyle x_0$와 $\displaystyle x_{k+1}$ 사이의 수이다.)

$\displaystyle \begin{aligned}|x_{k+2}-x_0|&=|f(x_{k+1})-f(x_0)|=|f^{\prime}(c)(x_{k+1}-x_0)|<r|x_{k+1}-x_0|\\&=r^{k+1}|x_1-x_0|\end{aligned}$Correction. 귀납가정에 양수 $\displaystyle r$을 곱하면 $\displaystyle r|x_{k+1}-x_0|<r^{k+1}|x_1-x_0|$이므로, 이 단계의 등호는 부등호 $\displaystyle <$의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

즉, $\displaystyle n= k+1$일 때도 성립하므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 식 (1.3)이 성립한다.

[2] $\displaystyle x_0$가 함수 $\displaystyle f(x)$의 고정점이면 $\displaystyle x_0 = f(x_0 ) = x_0 - \frac{g(x_0 ) }{g^{\prime}(x_0 )} ,$ 즉 $\displaystyle \frac{g(x_0 ) }{g^{\prime}(x_0 )} = 0$이다. $\displaystyle g^{\prime}(x_0 ) \ne 0$이므로 $\displaystyle g ( x_0 ) =0$이다. 즉, $\displaystyle x_0$은 방정식 $\displaystyle g(x)= 0$의 해이다.

[3] 문항 [2]에 의하면 함수 $\displaystyle f(x)$의 고정점 $\displaystyle x_0$은 방정식 $\displaystyle g(x) = x^2 - 2 = 0$의 해이다. 따라서 $\displaystyle x_0 = ± \sqrt {2}$이다. 그런데 이 중에 $\displaystyle \sqrt 2$가 구간 $\displaystyle [1, 3]$에 속하므로 $\displaystyle \sqrt 2$가 고정점이다.

한편, 함수 $\displaystyle f(x)=\frac12x+\frac1x$에 대해 점화식 (1.2)가 생성하는 수열은 $\displaystyle x_{n+1}=\frac12x_n+\frac1{x_n}$이다. 따라서 $\displaystyle x_1=2$일 때, $\displaystyle x_2,~x_3$를 구하면 $\displaystyle x_2=\frac12\cdot2+\frac12=\frac32,~~x_3=\frac12\cdot\frac32+\frac1{\left(\frac32\right)}=\frac{17}{12}$ 이다.

[4] 함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수는 $\displaystyle f ^{\prime} (x) =\frac{1}{2} - \frac{1}{x ^{2}}$이므로 다음 표에서 $\displaystyle 1 \le x \le 3$이면 분명히 $\displaystyle 1 < f(x) < 3$이다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&1&\cdots&\sqrt2&\cdots&3\\\hline f^{\prime}(x)&-&-&0&+&+\\\hline f(x)&3/2&\searrow&\text{최솟값 }(\sqrt2)&\nearrow&11/6\end{array}$

[5] $\displaystyle h(x)= f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{x^2}$로 놓으면 $\displaystyle h^{\prime}(x) = f^{\prime\prime}(x)= \frac{2}{x^3}$이다. 따라서 $\displaystyle x> 1$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x) >0$이므로 $\displaystyle h(x) = f^{\prime}(x)$는 증가함수이며 $\displaystyle h(1 ) =- \frac{1}{2}$이다. 또한 $\displaystyle x>1$이면 $\displaystyle h(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{x ^{2}} < \frac{1}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle 1 < x< 3$에서 $\displaystyle - \frac{1}{2} < h(x) < \frac{1}{2}$, 즉 $\displaystyle | f^{\prime}(x) | < \frac12$이다.

[6] 함수 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{x}$는 구간 $\displaystyle [1, 3]$에서 연속이고, 구간 $\displaystyle (1, 3)$에서 미분가능하다. $\displaystyle x_1 =2$이면 수열 $\displaystyle \left\{ x_n \right\}$의 모든 항 $\displaystyle x_n$과 함수 $\displaystyle f(x)$의 고정점 $\displaystyle x_0 = \sqrt 2$은 문항 [4]에 의하면 구간 $\displaystyle ( 1, 3)$에 있다. 또한 문항 [5]에 의하면 구간 $\displaystyle 1< x< 3$에서 $\displaystyle |f^{\prime}(x) | < \frac12$이므로 식 (1.1)을 만족시키는 $\displaystyle r$은 $\displaystyle r \ge \frac{1}{2}$이다. 이때 $\displaystyle r= \frac12$로 택하면 부등식 (1.3)이 성립한다. 즉, $\displaystyle x_0 = \sqrt 2 , x_1 = 2$이므로

$\displaystyle - ( \frac{1}{2} ) ^{n-1} |2- \sqrt {2}| <x _{n} - \sqrt {2} <( \frac{1}{2} ) ^{n-1} |2- \sqrt {2} |, n=2,3, \ldots$ 이다. $\displaystyle \lim _{n \to \infty } ( \frac{1}{2} )^{n-1} =0$이므로 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } (x_n - \sqrt 2 ) = 0$이다. 따라서 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } x_n = x_0 =\sqrt 2$이다.