자연계열 1번

[문제 1] 모범답안

[1] $\displaystyle R _{0} = \left\{ 3k | k\text{는 정수} \right\}$,$\displaystyle R _{1} = \left\{ 3k+1 | k\text{는 정수} \right\}$,$\displaystyle R _{2} = \left\{ 3k+2 | k\text{는 정수} \right\}$이다. 임의의 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 3$으로 나눌 때 나머지가 $\displaystyle 0$ 또는 $\displaystyle 1$ 또는 $\displaystyle 2$이므로 $\displaystyle a \in R _{0}$ 또는 $\displaystyle a \in R _{1}$ 또는 $\displaystyle a \in R _{2}$ 이다. 따라서 $\displaystyle R _{0} \cup R _{1} \cup R _{2}=\mathbb{Z}$ 이다.

[2] $\displaystyle a \in R _{i} \cap R _{j}$라고 하면 적당한 정수 $\displaystyle m, n$에 대하여 $\displaystyle a=3m+i=3n+j$로 나타낼 수 있으므로 $\displaystyle 3(m-n)=j-i$이다. 따라서 $\displaystyle j-i$는 $\displaystyle 3$의 배수이고 $\displaystyle 0 \le i \le 2 , 0 \le j \le 2$이므로 $\displaystyle i=j$이다. 그러므로 $\displaystyle i \ne j$이면, $\displaystyle R _{i} \cap R _{j} = \varnothing$이다.

[3] 집합 $\displaystyle R _{i}$가 <성질 1>을 만족한다면 $\displaystyle a,b \in R _{i}$, $\displaystyle b \ne 0$에 대하여 적당한 원소 $\displaystyle c, d \in R _{i}$가 존재하여 $\displaystyle a=b \cdot c+d$가 성립한다. 그런데 $\displaystyle a=3k+i, b=3m+i, c=3n+i, d=3p+i$ 인 정수 $\displaystyle k, m, n,p$가 존재하므로 $\displaystyle 3k+i=(3m+i)(3n+i)+(3p+i)=3q+i ^{2} +i$ 인 정수 $\displaystyle q$가 존재한다. 따라서 $\displaystyle 3(k-q)=i ^{2}$ 이고 $\displaystyle i ^{2}$은 $\displaystyle 3$의 배수이므로 $\displaystyle i=0$이다. 또한 $\displaystyle R _{0}$에 속하는 원소 $\displaystyle 3k, 3m$에 대하여 원소 $\displaystyle 3n, 3(k-mn)\in R _{0}$이 존재하여 등식 $\displaystyle 3k=(3m)(3n)+3(k-3mn)$이 성립하므로 <성질 1>을 만족하는 집합은 $\displaystyle R _{0}$ 뿐이다.Correction. 원소를 나열한 부분의 $\displaystyle 3(k-mn)$은 뒤의 등식에 쓰인 $\displaystyle 3(k-3mn)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[4] 원소 $\displaystyle 3, 6 \in R _{0}$에 대하여 $\displaystyle 3=6 \bullet 0+3=6 \bullet 3+(-15)$이고 $\displaystyle 0, 3, -15 \in R _{0}$이므로 집합 $\displaystyle R _{0}$는 <성질 2>를 만족하지 않는다. 따라서 <성질 1>을 만족하는 집합 중에서 <성질 2>를 만족하는 집합은 존재하지 않는다.

[5] 연립방정식의 계수로 이루어진 행렬 $\displaystyle M=\begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}$의 행렬식 $\displaystyle \det (M)$가 $\displaystyle 0$이 아닌 조건을 찾으면 된다. 그런데 적당한 정수 $\displaystyle k, m, n,p$에 대하여 $\displaystyle a _{1} =3k, a _{2} =3m+1, a _{3} =3n+2,a _{4} =3p+i$이라고 놓으면 $\displaystyle \det (M)=(3k)(3p+i)-(3m+1)(3n+2)=3q+1$인 정수 $\displaystyle q$가 존재하고 $\displaystyle 3q+1 \ne 0$이므로 $\displaystyle a _{4}$는 $\displaystyle R _{0} , R _{1} , R _{2}$ 중 어느 집합에 속해도 된다.

[6] 함수 $\displaystyle g$는 $\displaystyle R_2$에 속하지 않는 모든 점 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)=0$이다. 따라서 $\displaystyle a \notin R _{2}$일 때 $\displaystyle \lim _{x \to a} {g(x)=0}$이다. 또한 $\displaystyle a \in R _{2}$일 때 $\displaystyle g(x)$의 좌극한과 우극한은 각각 $\displaystyle \lim _{x \to a ^{-}} {g(x)=0}$ 이고 $\displaystyle \lim _{x \to a ^{+}} {g(x)=0}$ 이므로 $\displaystyle \lim _{x \to a} {g(x)=0}$ 이다. 따라서 $\displaystyle A=\mathbb{R}$이다.