자연계열 1번

광운대 2015학년도 수시 오전 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2015su_am/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문을 이용하여 문항별로 풀이와 함께 답하시오.(50점)

[타원의 정의와 방정식] 평면 위의 서로 다른 두 초점 $\displaystyle \mathrm{F}, \mathrm{F}^{\prime}$ 으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라 한다. 두 초점이 $\displaystyle \mathrm{F}(c,0), \mathrm{F}^{\prime}(-c,0)$ 이고 거리의 합이 $\displaystyle 2a$ 인 타원의 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} =1$ (단, $\displaystyle a>c>0$ , $\displaystyle b ^{2} =a ^{2} -c ^{2}$ ) (1)

이 때 식 (1)의 타원으로 둘러싸인 도형의 내부 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle S=\pi ab$ (2)

[제이코사인법칙] $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle \cos \mathrm{B}= \frac{a ^{2} +c ^{2} -b ^{2}}{2ac}$ (3)

[산술평균, 기하평균] 양의 실수 $\displaystyle a, b$ 에 대하여 다음과 같은 식이 항상 성립한다.

$\displaystyle \frac{a+b}{2} \ge \sqrt {ab}$ (4)

[평면벡터의 내적] 두 벡터 $\displaystyle \vec{a} =(a _{1} , a _{2} ), \vec{b} =(b _{1} ,b _{2} )$ 가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$ 일 때,

$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} =a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} =| \vec{a} || \vec{b} |\cos \theta$ (5)

[삼각함수의 덧셈정리]

$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ (복부호동순) (6)

※([1]~[5]) 점 $\displaystyle (0,1)$ 을 지나고 두 초점이 $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}(-1,0)$ 과 $\displaystyle \mathrm{F}(1,0)$ 인 타원에 대한 다음 물음에 답하시오.

[1] 타원의 방정식을 구하시오. [5점]

[2] 타원의 두 초점에서 타원 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 이을 때 각 $\displaystyle \angle \mathrm{F}^{\prime}\mathrm{PF}$ 의 최댓값을 구하시오. [10점]

[3] 타원의 두 초점에서 타원 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 까지 이르는 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{FP}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}}$ 의 합으로 주어지는 벡터를 원점을 시점으로 그릴 때, 얻어지는 도형의 넓이를 구하시오. [10점]

[4] 주어진 타원을 일차변환 $\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}}$ 를 통해 얻은 도형과 주어진 타원의 공통되지 않는 부분을 $\displaystyle x$ 축 둘레로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 부피를 구하시오. [15점]

[5] 주어진 타원과 [4]번에서 변환을 통해 얻은 도형과의 교점 중 제 1사분면의 점을 $\displaystyle \mathrm{P} _{1}$ , 제 2사분면의 점을 $\displaystyle \mathrm{P} _{2}$ 라 하자. 초점 $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}(-1,0)$ 에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P} _{1} ,\mathrm{P} _{2}$ 를 잇는 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P} _{1}}$ 과 $\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P} _{2}}$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ 라고 할 때 $\displaystyle \tan \theta$ 를 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

광운대 2015학년도 수시 오전 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2015su_am/jayeon_1

+5점

[1] 제시문의 식 (1)에서 $\displaystyle b ^{2} =a ^{2} -c ^{2}$ 에서 $\displaystyle b=1, c=1$ 이므로 $\displaystyle a= \sqrt {2}$ ( $\displaystyle a>0$ )이고, 만족하는 타원의 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{x ^{2}}{2} +y ^{2} =1$

+3점

[2] $\displaystyle \angle \mathrm{F}^{\prime}\mathrm{PF}=\theta$ 라고 하자. 이 때 $\displaystyle \triangle \mathrm{F}^{\prime}\mathrm{PF}$ 에 대해 제시문 (3)의 제이코사인법칙을 적용하면 다음과 같다.

$\displaystyle \cos\theta=\frac{(\overline{\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}})^2+(\overline{\mathrm{FP}})^2-(\overline{\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{F}})^2}{2(\overline{\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}})(\overline{\mathrm{FP}})}$

+3점

이 때 $\displaystyle \overline {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}} + \overline {\mathrm{FP}} =2 \sqrt {2}$ , $\displaystyle \overline {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{F}}=2$ 이므로

$\displaystyle \cos \theta = \frac{(2 \sqrt {2} ) ^{2} -2( \overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} )( \overline {\mathrm{FP}} )-(2) ^{2}}{2( \overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} )( \overline {\mathrm{FP}} )} = \frac{4-2( \overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} )( \overline {\mathrm{FP}} ) ^{}}{2( \overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} )( \overline {\mathrm{FP}} )} = \frac{2}{( \overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} )( \overline {\mathrm{FP}} )} -1$

+2점

제시문의 식 (4)에 의해 $\displaystyle \frac{\overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} + \overline {\mathrm{FP}}}{2} = \sqrt {2} \ge \sqrt {(\overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}})(\overline {\mathrm{FP}})}$ 이므로 $\displaystyle 2 \ge (\overline {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}})(\overline {\mathrm{FP}})>0$ 이다. 따라서 $\displaystyle \cos \theta \ge 0$ 이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{F}^{\prime}\mathrm{PF} \le \frac{\pi }{2}$ 이다.

+2점

실제로 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)=(0,±1)$ 일 때 $\displaystyle \overline {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} = \overline {\mathrm{FP}} = \sqrt {2}$ 이므로 $\displaystyle \cos \theta =0$ 이다.

$\displaystyle \angle \mathrm{F}^{\prime}\mathrm{PF}$ 는 $\displaystyle \mathrm{P}(0,±1)$ 일 때 가장 큰 각인 $\displaystyle \frac{\pi }{2}$ 를 갖는다.

+3점

[3] 궤도 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{P}=(x _{1} ,y _{1} )$ 에 대해 두 벡터를 좌표로 표시하면,

$\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P}}=(x _{1} +1, y _{1} ), \overrightarrow {\mathrm{FP}}=(x _{1} -1, y _{1} )$ 이고,

+2점

두 벡터의 합벡터를 좌표로 표시하면,

$\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P}} + \overrightarrow { \mathrm{FP}} =(2x _{1} ,2 y _{1} )$ 이다.

+1점

따라서 본래 타원보다 두 배 궤도 반경이 큰 타원궤도가 된다.

+2점

면적이 본래 타원궤도의 네 배가 된다.제시문의 식 (2)에서 주어진 타원의 넓이식을 이용하면, 본래 타원궤도의 넓이는

+1점

$\displaystyle S=\pi ab=\pi\sqrt2$ 따라서 벡터가 그리는 도형의 넓이는 다음과 같다.

+1점

$\displaystyle S=4\times\pi\sqrt2=4\pi\sqrt2$

+1점

[4] 변환 $\displaystyle {\begin{pmatrix}x ^{\prime} \\ y ^{\prime} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}}$ 에 의해 $\displaystyle x^{\prime}=y, y^{\prime}=x$ 인 관계식이 성립하여 공간적으로 $\displaystyle y=x$ 대칭이 된다. 따라서 옮겨진 도형의 방정식은 다음과 같다.

두 타원 S1과 S2, 초점 F와 F prime, 제1·2사분면 교점 P1과 P2 — [그림 1]

주어진 타원 $\displaystyle S _{1 } : \frac{x ^{2}}{2} +y ^{2} =1$

변환된 타원 $\displaystyle S _{2} : x ^{2} + \frac{y ^{2}}{2} =1$

+2점

$\displaystyle y=x$ 와 타원식의 교점을 구하면 $\displaystyle \frac{x _{1} ^{2}}{2} + \frac{x _{1} ^{2}}{1} =1$ 이므로 $\displaystyle \frac{3x _{1} ^{2}}{2} =1$ 이고, $\displaystyle x _{1} = \sqrt {\frac{2}{3}}$ 이다. 따라서 두 타원의 교점은

$\displaystyle \left ( \sqrt {\frac{2}{3}} , \sqrt {\frac{2}{3}} \right ) , \left ( - \sqrt {\frac{2}{3}} , \sqrt {\frac{2}{3}} \right )$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle \pi\int_0^{\sqrt{2/3}}\{2(1-x^2)-(1-x^2/2)\}dx

+2점 ·

\displaystyle \pi\int_{\sqrt{2/3}}^1\{(1-x^2/2)-2(1-x^2)\}dx

+1점 ·

\displaystyle \pi\int_1^{\sqrt2}(1-x^2/2)dx

회전체의 부피는 $\displaystyle \pi y ^{2}$ 을 구하면 되므로 타원식을 $\displaystyle y ^{2}$ 으로 정리하면 다음과 같다.

주어진 타원 $\displaystyle S _{1 } : y ^{2} =1- \frac{x ^{2}}{2}$

변환된 타원 $\displaystyle S _{2} : y ^{2} =2(1-x ^{2} )$

좌우대칭이므로 $\displaystyle x>0$ 인 영역의 부피를 구해서 두 배 하는 경우를 생각해보면 $\displaystyle [0,x _{1} ]$ 영역에서는 $\displaystyle S _{2}$ 회전체에서 $\displaystyle S _{1}$ 회전체의 부피를 빼주고, $\displaystyle [x _{1} ,1]$ 까지는 반대로 $\displaystyle S _{1}$ 회전체에서 $\displaystyle S _{2}$ 회전체의 부피를 빼주고, $\displaystyle [1, \sqrt {2} ]$ 에서는 $\displaystyle S _{1}$ 회전체만 계산해주면 된다. 따라서 회전체의 부피는 다음 식으로 구해진다.

회전체 부피의 식을 세우면

$\displaystyle \frac{V}{2} =\pi \int _{0} ^{\sqrt {\frac{2}{3}}} {\left\{ 2(1-x ^{2} )- \left ( 1- \frac{x ^{2}}{2} \right ) \right\} dx} +\pi \int _{\sqrt {\frac{2}{3}}} ^{1} {\left\{ \left ( 1- \frac{x ^{2}}{2} \right ) -2(1-x ^{2} ) \right\} dx+\pi \int _{1} ^{\sqrt {2}} {\left ( 1- \frac{x ^{2}}{2} \right )} dx}$

※ 혹은, 회전체 부피의 식을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$\displaystyle \frac{V}{2} = \pi \int _{0} ^{\sqrt {\frac{2}{3}}} {\left\{ 2(1-x ^{2} )- \left ( 1- \frac{x ^{2}}{2} \right ) \right\} dx} + \pi \int _{\sqrt {\frac{2}{3}}} ^{\sqrt {2}} {\left ( 1- \frac{x ^{2}}{2} \right ) dx- \pi \int _{\sqrt {\frac{2}{3}}} ^{1} {2 \left ( 1-x ^{2} \right )} dx}$

+2점 ·

\displaystyle \pi[\sqrt6/3-\sqrt6/9]

+2점 ·

\displaystyle \pi[\sqrt6/3-1-\sqrt6/9+1/2]

+1점 ·

\displaystyle \pi[\sqrt2-1-\sqrt2/3+1/6]

정적분을 계산해 부피를 계산하면,

$\displaystyle \frac{V}{2} = \pi \int _{0} ^{\sqrt {\frac{2}{3}}} {\left\{ 1- \frac{3}{2} x ^{2} \right\} dx} + \pi \int _{\sqrt {\frac{2}{3}}} ^{1} {\left ( -1+ \frac{3}{2} x ^{2} \right )} dx+\pi \int _{1} ^{\sqrt {2}} {\left ( 1- \frac{1}{2} x ^{2} \right ) dx}$

$\displaystyle =\pi \Biggl[ x- \frac{1}{2} x ^{3} \Biggr] _{0} ^{\sqrt {\frac{2}{3}}} + \pi \Biggl[ x- \frac{1}{2} x ^{3} \Biggr] _{1} ^{\sqrt {\frac{2}{3}}} + \pi \Biggl[ x- \frac{1}{6} x ^{3} \Biggr] _{1} ^{\sqrt {2}}$

$\displaystyle =\pi \left [ \sqrt {\frac{2}{3}} - \frac{1}{2} \frac{2}{3} \sqrt {\frac{2}{3}} \right ] + \pi \left [ ( \sqrt {\frac{2}{3}} -1)- \frac{1}{2} ( \frac{2}{3} \sqrt {\frac{2}{3}} -1) \right ] + \pi \left [ ( \sqrt {2} -1)- \frac{1}{6} (2 \sqrt {2} -1) \right ]$

$\displaystyle =\pi \left [ \frac{\sqrt {6}}{3} - \frac{\sqrt {6}}{9} + \frac{\sqrt {6}}{3} -1- \frac{\sqrt {6}}{9} + \frac{1}{2} + \sqrt {2} -1- \frac{\sqrt {2}}{3} + \frac{1}{6} \right ] =\pi \left [ \frac{4 \sqrt {6}}{9} + \frac{2 \sqrt {2}}{3} - \frac{4}{3} \right ]$

+2점

따라서 구하는 부피는 $\displaystyle V=\pi \left [ \frac{8 \sqrt {6}}{9} + \frac{4 \sqrt {2}}{3} - \frac{8}{3} \right ]$ 이다.

+3점

[5]두 점을 잇는 벡터를 구하면,

$\displaystyle \overrightarrow {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P} _{1}} =( \sqrt {\frac{2}{3}} +1, \sqrt {\frac{2}{3}} ), \overrightarrow {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P} _{2} }=(- \sqrt {\frac{2}{3}} +1, \sqrt {\frac{2}{3}} )$

+5점

제시문의 식 (5)에 두 벡터를 대입하면 두 벡터가 이루는 각에 대한 코사인 값을 구할 수 있다.

$\displaystyle \cos \theta = \frac{\overrightarrow {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P} _{1}} \cdot \overrightarrow {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P} _{2}}}{| \overrightarrow {\mathrm{F} ^{\prime} \mathrm{P} _{1}} ||\overrightarrow {\mathrm{F}^{\prime}\mathrm{P} _{2} }|} = \frac{( \sqrt {\frac{2}{3}} +1, \sqrt {\frac{2}{3}} ) _{} \cdot (- \sqrt {\frac{2}{3}} +1, \sqrt {\frac{2}{3}} )}{\sqrt {\frac{7}{3} +2 \sqrt {\frac{2}{3}}} \sqrt {\frac{7}{3} -2 \sqrt {\frac{2}{3}}}}$

$\displaystyle = \frac{(- \frac{2}{3} +1+ \frac{2}{3} )}{\sqrt {\frac{49}{9} -4 \frac{2}{3}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt {49-24}}{3}} = \frac35$

+2점

이는 빗변의 길이가 5, 밑변의 길이가 3인 직각삼각형으로부터 얻는 값과 같으므로 $\displaystyle \tan \theta = \frac{4}{3}$ 이다.

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