자연계열 2번

[1]

두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능하며 $\displaystyle g(a)\ne g(b)$이므로 식 ①에서 주어진 함수 $\displaystyle F(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능하다.

또한 분명히 $\displaystyle F(a)=F(b)=f(b)-f(a)$이므로제시문의 [롤의 정리]에 의하면 다음을 만족시키는 실수 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

$\displaystyle F^{\prime} \left ( c \right ) = 0$

여기서 $\displaystyle F^{\prime} \left ( x \right ) = f^{\prime} \left ( x \right ) - \frac{f \left ( b \right ) - f \left ( a \right )}{g \left ( b \right ) - g \left ( a \right )} g^{\prime} \left ( x \right )$이고 위의 식에서 다음을 얻는다.

$\displaystyle F ^{\prime} \left ( c \right ) = f ^{\prime} \left ( c \right ) - \frac{f \left ( b \right ) - f \left ( a \right )}{g \left ( b \right ) - g \left ( a \right )} g ^{\prime} \left ( c \right ) = 0$

구간 $\displaystyle \left ( a, b \right )$에서 $\displaystyle g^{\prime} \left ( x \right ) \ne 0$이므로 정리하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{f \left ( b \right ) - f \left ( a \right )}{g \left ( b \right ) - g \left ( a \right )} = \frac{f^{\prime} \left ( c \right )}{g^{\prime} \left ( c \right )}$

[2]

점 $\displaystyle s\in(a,b)$와 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$에 대하여 $\displaystyle f(s)=0,g(s)=0$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{f \left ( x \right )}{g \left ( x \right )} = \frac{f \left ( x \right ) -f \left ( s \right )}{g \left ( x \right ) -g \left ( s \right )}$

여기서 $\displaystyle x \ne s$이면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \frac{f \left ( x \right )}{g \left ( x \right )} = \frac{f \left ( x \right ) -f \left ( s \right )}{g \left ( x \right ) -g \left ( s \right )} = \frac{\frac{f \left ( x \right ) -f \left ( s \right )}{x-s}}{\frac{g \left ( x \right ) -g \left ( s \right )}{x-s}}$

조건에서 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=s$에서 미분가능하다. 즉 다음의 극한값이 존재한다.

$\displaystyle \lim_{x\to s}\frac{f(x)-f(s)}{x-s}=f^{\prime}(s),~\lim_{x\to s}\frac{g(x)-g(s)}{x-s}=g^{\prime}(s)$

또 조건에서 구간 $\displaystyle \left ( a, b \right )$에서 $\displaystyle g^{\prime} \left ( x \right ) \ne 0$이므로 $\displaystyle g ^{\prime} \left ( s \right ) \ne 0$이다.

이제 제시문의 [함수의 극한에 관한 성질]을 이용하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \lim _{x\to s} {\frac{f \left ( x \right )}{g \left ( s \right )} = \frac{f^{\prime} \left ( s \right )}{g^{\prime} \left ( s \right )}}$

[3]

<그림 1>에서 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPA}$를 참조하면 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P} \left ( r\cos \theta , r \sin \theta \right )$이다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{A} \left ( r\cos \theta , 0 \right )$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표는 분명히 $\displaystyle \mathrm{B} \left ( r, 0 \right )$이다.

한편 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 주어진 반원을 함수 $\displaystyle y= \sqrt {r ^{2} -x ^{2}}$의 그래프로 나타낼 수 있으므로 그의 도함수를 이용하여 구할 수 있다.

$\displaystyle y^{\prime} = - \frac{x}{\sqrt {r ^{2} -x ^{2}}}$이므로 $\displaystyle x=r \cos \theta$이면 구하는 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{\cos \theta }{\sin \theta }$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$\displaystyle y=r \sin \theta - \frac{\cos \theta }{\sin \theta } \left ( x- r \cos \theta \right )$

점 $\displaystyle \mathrm{T}$의 좌표는 위의 접선의 $\displaystyle x$절편이므로 $\displaystyle \mathrm{T} \left ( \frac{r}{\cos \theta } ,0 \right )$이다.

[4]

<그림1>에서 도형 $\displaystyle \mathrm{PAB}$의 면적 $\displaystyle S$는 (부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OPB}$의 면적) $\displaystyle -$ (직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPA}$의 면적)이다.

(부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OPB}$의 면적) $\displaystyle = \frac{1}{2} r ^{2} \theta$,

(직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPA}$의 면적) $\displaystyle =\frac12r^2\cos\theta\sin\theta$

따라서 $\displaystyle S$는 다음과 같다.

$\displaystyle S= \frac{1}{2} r ^{2} \left ( \theta - \sin \theta \cos \theta \right ) = \frac{1}{2} r ^{2} \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right )$

한편 도형 $\displaystyle \mathrm{PBT}$의 면적 $\displaystyle R$는 (직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPT}$의 면적) $\displaystyle -$ (부채꼴 $\displaystyle \mathrm{OPB}$의 면적)이다.

(직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPT}$의 면적)은 $\displaystyle \frac{1}{2} r \sin \theta \frac{r}{\cos \theta } = \frac{1}{2} r ^{2} \tan \theta$이므로

$\displaystyle R = \frac{1}{2} r ^{2} \left ( \tan \theta - \theta \right )$

[5]

문항 [4]로부터 $\displaystyle Q, R, S$는 다음과 같고, 모두 $\displaystyle \theta = 0$을 포함하는 어떤 구간에서 정의된다.

$\displaystyle Q= \frac{1}{4} r ^{2} \sin 2 \theta , S= \frac{1}{2} r ^{2} \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right ) , R= \frac{1}{2} r ^{2} \left ( \tan \theta -\theta \right )$

따라서 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{R}{Q} = \frac{\tan\theta -\theta }{\frac{1}{2} \sin 2\theta } =2 \frac{\tan\theta-\theta }{\sin 2\theta }$

여기서 $\displaystyle \frac{R}{Q}$의 분모와 분자의 $\displaystyle \theta \to 0$일 때의 극한값이 모두 $\displaystyle 0$이고, 또 $\displaystyle \left ( \sin 2\theta \right ) ' = 2 \cos 2\theta$이므로 여기서 $\displaystyle \theta = 0$에서 $\displaystyle \left ( \sin 2\theta \right ) ' = 2 \ne 0$이다. 여기서 문항 [2]를 이용하면 다음과 같다.

$\displaystyle \lim _{\theta \to 0} {\frac{R}{Q} = \lim _{\theta \to 0} {2 \frac{\tan\theta - \theta }{\sin 2\theta } = 2 \frac{\sec ^{2} 0-1}{2 \cos 0} = \frac{0}{2} = 0}}$

한편 $\displaystyle S^{\prime}$과 $\displaystyle R^{\prime}$은 다음과 같다.

$\displaystyle S^{\prime}= \frac{dS}{d \theta } = \frac{1}{2} r ^{2} \left ( 1-\cos 2\theta \right ) , R^{\prime}= \frac{dR}{d \theta } = \frac{1}{2} r ^{2} \left ( \sec ^{2} \theta - 1 \right )$

여기서 제시문의 [삼각함수의 항등식]과 삼각함수의 정의를 이용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \lim _{\theta \to 0} {\frac{S ^{\prime} }{R ^{\prime} } = \lim _{\theta \to 0} {\frac{1-\cos 2 \theta }{\sec ^{2} \theta -1} = \lim _{\theta \to 0} {\frac{2 \sin ^{2} \theta }{\tan ^{2} \theta } = \lim _{\theta \to 0} { 2 \cos ^{2} \theta = 2}}}}$

따라서 제시문의 [우극한과 좌극한]에 의하면 구하는 극한값은 다음과 같다.

$\displaystyle \lim _{\theta \to 0+0} {\frac{R}{Q} = 0} , \lim _{\theta \to 0+0} {\frac{S^{\prime}}{R^{\prime}} = 2}$