자연계열 2번

[1] $\displaystyle L_a(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)-L_a(x)\}=\lim_{x\to a}\{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)\}$이다.

제시문의 [항등식]에 의하면 $\displaystyle x\ne a$일 때 다음이 성립한다.

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to a}\{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)\}&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{x-a}(x-a)\\&=\lim_{x\to a}\left\{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a)\right\}(x-a)\end{aligned}$

여기서 제시문의 [미분계수에 관한 성질]에 의하면 $\displaystyle \lim_{x\to a}\left\{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime}(a)\right\}=0$이고 분명히 $\displaystyle \lim_{x\to a}(x-a)=0$이다. 따라서 [함수의 극한에 관한 성질]을 이용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\{f(x)-L_a(x)\}=0$

[2] 주어진 함수 $\displaystyle f(x)=(1+x)^{1/3}$의 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{3(1+x)^{2/3}}$이다.

이때 $\displaystyle f(0)=1,~f^{\prime}(0)=\frac13$이므로 주어진 함수의 $\displaystyle L_0(x)$는 다음과 같다.

$\displaystyle L_0(x)=f(0)+f^{\prime}(0)(x-0)=1+\frac13x$

따라서 $\displaystyle L_0\left(\frac14\right)=1+\frac13\frac14=1+\frac1{12}=\frac{13}{12}$이다.

[3] 주어진 조건에 의하면 함수 $\displaystyle f(t)$와 이차함수 $\displaystyle f(a)+f^{\prime}(a)(t-a)+K(t-a)^2$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,x]$에서 연속이고, 열린구간 $\displaystyle (a,x)$에서 연속이다.Comment. 롤의 정리를 적용하려면 열린구간 $\displaystyle (a,x)$에서 $\displaystyle F$가 미분가능함도 확인해야 한다. 이 문제에서는 $\displaystyle f$가 두 번 미분가능하고, $\displaystyle F$는 $\displaystyle f$에서 다항함수를 뺀 함수이므로 이 조건을 만족한다.

한편

$\displaystyle F(a)=f(a)-f(a)-f^{\prime}(a)(a-a)-K(a-a)^2=0$

또 $\displaystyle K$는 $\displaystyle t=x$일 때 식 ①을 만족시키는 실수이므로

$\displaystyle F(x)=f(x)-L_a(x)=f(x)-f(a)-f^{\prime}(a)(x-a)-K(x-a)^2=0$Correction. 가운데 항에서 $\displaystyle -K(x-a)^2$가 빠져 있다. 앞에서 정의한 함수는 다음과 같다.$\displaystyle F(x)=f(x)-L_a(x)-K(x-a)^2$그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 $\displaystyle F(a) =F(x) = 0$이므로 제시문의 [롤의 정리] 에 의해

$\displaystyle F^{\prime}(d)=0$ ………………… ③

인 점 $\displaystyle d$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle s$ 사이에 적어도 하나 있다.Correction. 점 $\displaystyle d$가 놓인 구간을 설명하는 문장의 $\displaystyle s$는 $\displaystyle x$의 오기이다. $\displaystyle a$와 $\displaystyle x$ 사이의 점을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[4] 함수 $\displaystyle F^{\prime}(t)$의 도함수는 다음과 같다.Correction. 이 문장의 “함수 $\displaystyle F^{\prime}(t)$의 도함수”는 “함수 $\displaystyle F(t)$의 도함수”의 오기이다. 다음 줄은 $\displaystyle F^{\prime}(t)$를 구한 식이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle F^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)-f^{\prime}(a)-2K(t-a)$

문제의 조건에서 함수 $\displaystyle f(t)$가 $\displaystyle a,x\in I$인 구간에서 두 번 미분 가능하고 $\displaystyle d<x$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a,d]$에서 연속이고, 열린구간 $\displaystyle (a,d)$에서 미분가능하다. 이는 일차함수 $\displaystyle f^{\prime}(a)+2K(t-a)$의 경우에도 성립한다.

또한 분명히

$\displaystyle F^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-f^{\prime}(a)-2K(a-a)=0$

이고, 또 식 ③을 참조하면 $\displaystyle F^{\prime}(a)=F^{\prime}(d)=0$을 얻는다. 따라서 제시문의 [롤의 정리]를 $\displaystyle F^{\prime}(t)$에 적용하면

$\displaystyle F^{\prime\prime}(c)=f^{\prime\prime}(c)-2K=0$

인 점 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle d$ 사이에 적어도 하나 존재한다. 여기서 위 식을 정리하고 $\displaystyle a<c<d<x$임을 이용하면 구간 $\displaystyle (a,x)$에 다음을 만족시키는 점 $\displaystyle c$가 적어도 하나 존재함을 알 수 있다.

$\displaystyle K=\frac12f^{\prime\prime}(c)$

[5] 주어진 식 ①과 문항 [4]의 결과를 합치면 점 $\displaystyle a$와 $\displaystyle x$ 사이에 다음을 만족시키는 점 $\displaystyle c$가 존재한다.

$\displaystyle f(x)-L_a(x)=\frac12 f^{\prime\prime}(c)(x-a)^2$

주어진 함수 $\displaystyle f(x)=\sqrt{1+x}$에 대하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt{1+x}},~f^{\prime\prime}(x)=\frac{-1}{4(1+x)^{3/2}}$

이때 $\displaystyle 0\le x\le\frac18$인 임의의 $\displaystyle x$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle |f^{\prime\prime}(x)|=\frac1{4(1+x)^{3/2}}\le\frac14$

따라서 $\displaystyle a=0$과 $\displaystyle 0\le x\le\frac18$인 임의의 $\displaystyle x$에 대하여 다음을 얻는다.$\displaystyle |f(x)-L_0(x)|=\frac12|f^{\prime\prime}(c)|(x-a)^2\le\frac12\frac14\left(\frac18\right)^2=\frac1{512}$