자연계열 1번

[1]

(1)$\displaystyle L$이 $\displaystyle L _{2} (\mathbb{R})$의 원소이므로 $\displaystyle L= {\begin{pmatrix}1&0\\ l&1\end{pmatrix}}$이라고 놓자.

$\displaystyle f _{A} (L)=LA= {\begin{pmatrix}1&0\\ l&1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}a&b\\ al+c& bl+d\end{pmatrix}}$

여기서 $\displaystyle f _{A} (L)$이 $\displaystyle U$의 원소이므로 행렬의 $\displaystyle (2,1)$성분인 $\displaystyle al+c$값이 $\displaystyle 0$이다.

따라서 $\displaystyle l=- \frac{c}{a}$이므로, 행렬 $\displaystyle L= {\begin{pmatrix}1&0\\ - \frac{c}{a}& 1\end{pmatrix}}$ 이다.

$\displaystyle L$의 역행렬은 $\displaystyle L ^{-1} = {\begin{pmatrix}1&0\\ \frac{c}{a}& 1\end{pmatrix}}$이므로 $\displaystyle L ^{-1} \in L _{2} (\mathbb{R})$이다.

(2) $\displaystyle L= {\begin{pmatrix}1&0\\ - \frac{c}{a}& 1\end{pmatrix}}$이므로 $\displaystyle L ^{n} = {\begin{pmatrix}1&0\\ - \frac{c}{a}& 1\end{pmatrix}} ^{n} = {\begin{pmatrix}1&0\\ -n \frac{c}{a} &1\end{pmatrix}}$ 이므로 $\displaystyle a _{n} =-n \frac{c}{a}$이다.

따라서 $\displaystyle \frac{a _{n+2}}{a _{n}} = \frac{n+2}{n} =1+ \frac{2}{n}$이므로 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } {\left ( \frac{a _{n+2}}{a _{n}} \right ) ^{n} = \lim _{n \to \infty } {\left [ \left ( 1+ \frac{2}{n} \right ) ^{\frac{n}{2}} \right ] ^{2} =e ^{2}}}$

(3) $\displaystyle f _{A} (L)=LA= {\begin{pmatrix}1&0\\ l&1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}1&1\\ 1&2\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}1&1\\ l+1 &l+2\end{pmatrix}}$가 $\displaystyle U _{2} (\mathbb{R})$의 원소가 되려면 $\displaystyle l=-1$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle L= {\begin{pmatrix}1&0\\ -1& 1\end{pmatrix}}$이고 $\displaystyle f _{A} (L)= {\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}}$이다.

주어진 일차 변환은 $\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime}\\ y^{\prime}\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}}$이므로 $\displaystyle x^{\prime}=x+y, y^{\prime}=y$이다. 이 관계를 주어진 $\displaystyle y=g(x)$에 대입하여 옮겨진 곡선의 방정식을 얻으면 $\displaystyle y^{\prime}=(x^{\prime}-y^{\prime}+1)(x^{\prime}-y^{\prime}+2)(x^{\prime}-y^{\prime}+3)$이다. 이 곡선의 $\displaystyle x$축과의 교점을 구하기 위하여 $\displaystyle y^{\prime}=0$을 대입하면 $\displaystyle x^{\prime}=-1,-2,-3$을 얻는다.

[2]

행렬 $\displaystyle D= {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\ \gamma &\delta \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않을 경우에 다음이 성립한다.

$\displaystyle \alpha \delta - \beta \gamma =0$

이 때 $\displaystyle \alpha , \beta , \gamma , \delta \in N _{1}$, 즉 $\displaystyle \gamma \ne 0, \delta \ne 0$이므로 $\displaystyle \frac{\alpha }{\gamma } = \frac{\beta }{\delta }$이다. 여기서 $\displaystyle \frac{\alpha }{\gamma } = \frac{\beta }{\delta } =k$라 놓으면 $\displaystyle k$는 양수이고 $\displaystyle \alpha = \gamma k, \beta = \delta k$이다.

주어진 행렬의 성분에 대한 조건에서 $\displaystyle \gamma \ne \delta$이어야 하고, 또한 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{\alpha ^{2} -\beta ^{2}}{\gamma ^{2} -\delta ^{2}} = \frac{\gamma ^{2} k ^{2} -\delta ^{2} k ^{2}}{\gamma ^{2} -\delta ^{2}} =k ^{2} =9$

따라서 $\displaystyle k=3$이고, $\displaystyle \alpha =3\gamma$, $\displaystyle \beta =3\delta$이다. 그러므로 구하는 행렬은 다음과 같은 형태이다.

$\displaystyle D= {\begin{pmatrix}3\gamma &3\delta \\ \gamma &\delta \end{pmatrix}}$, $\displaystyle \gamma \ne \delta$, $\displaystyle \alpha , \beta , \gamma , \delta \in N _{1}$

$\displaystyle N_1=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$이므로 구하는 행렬 $\displaystyle D$는 다음과 같이 12가지이다.

$\displaystyle {\begin{pmatrix}3&6\\ 1& 2\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}3 &12\\ 1&4\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}3& 24\\ 1&8\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}6 &3\\ 2&1\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}6 &12\\ 2&4\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}6 &24\\ 2&8\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}12 &3\\ 4&1\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}12 &6\\ 4&2\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}12& 24\\ 4&8\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}24& 3\\ 8& 1\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}24 &6\\ 8&2\end{pmatrix}} , {\begin{pmatrix}24 &12 \\ 8&4\end{pmatrix}}$

[3]

함수 $\displaystyle f$의 역함수가 존재하므로 $\displaystyle f$는 일대일대응이다.

$\displaystyle N_2=\{1,2,4,8\}$, $\displaystyle f(1)=f^{-1}(1)$

1) $\displaystyle f(1)=f ^{-1} (1)=1$인 경우

집합 {2,4,8}에서 집합 {2,4,8}로의 일대일대응의 개수는 $\displaystyle 3 \times 2 \times 1=6$

2) $\displaystyle f(1)=f ^{-1} (1)=2$인 경우

$\displaystyle f(1)=2$이고, $\displaystyle f(2)=1$이므로 집합 {4,8}에서 집합 {4,8}로의 일대일대응의 개수는 $\displaystyle 2 \times 1=2$

3) $\displaystyle f(1)=f ^{-1} (1)=4$인 경우

$\displaystyle f(1)=4$이고, $\displaystyle f(4)=1$이므로 집합 {2,8}에서 집합 {2,8}로의 일대일대응의 개수는 $\displaystyle 2 \times 1=2$

4) $\displaystyle f(1)=f ^{-1} (1)=8$인 경우

$\displaystyle f(1)=8$이고 $\displaystyle f(8)=1$이므로 집합 {2,4}에서 집합 {2,4}로의 일대일대응의 개수는 $\displaystyle 2 \times 1=2$

즉, 함수 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle 6+2+2+2=12$개