수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1번

광운대 2020학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2020mo/jayeon_1

배점50점
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문제

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 원소가 유한개인 집합을 유한집합이라 하고 원소가 무수히 많은 집합을 무한집합이라고 한다.

2. 명제 p→q\displaystyle p \to q에 대하여 ∼q→∼p\displaystyle \sim q \to \sim p를 대우라고 한다.

3. 함수 f:X→Y\displaystyle f:X \to Y가 일대일함수이고 치역과 공역이 같을 때 이 함수 f\displaystyle f를 일대일 대응이라고 한다.

4. 함수 f:X→Y\displaystyle f:X \to Y가 일대일 대응일 때 f−1:Y→X\displaystyle f ^{-1} :Y \to X는 f\displaystyle f의 역함수이다.

5. 두 함수 f:X→Z,g:Z→Y\displaystyle f:X \to Z, g:Z \to Y의 합성함수는 g∘f:X→Y,(g∘f)(x)=g(f(x))\displaystyle g \circ f:X \to Y, (g \circ f)(x)=g(f(x))이다.

[1] 부등식 kx−∣k∣x−k2−k+56≥0\displaystyle kx-|k|x-k ^{2} -k+56 \ge 0이 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 성립할 때 k\displaystyle k의 최솟값과 최댓값을 구하시오. [13점]

[2] 실수 전체의 집합의 공집합이 아닌 부분집합 A\displaystyle A와 집합 B={t∣0<t<t2,단, t는 실수}\displaystyle B = \left\{ t | 0<t<t ^{2} , \text{단, }t\text{는 실수}\right\}에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) A\displaystyle A가 조건 “a∈A\displaystyle a \in A이면 a+10∈A\displaystyle a+10 \in A이다”를 만족시킬 때 A\displaystyle A는 무한집합임을 증명하시오. [6점]

(2) (1)을 이용하여 B\displaystyle B가 유한집합인지 무한집합인지 판정하고 이유를 설명하시오. [9점]

[3] 실수 전체의 집합의 공집합이 아닌 부분집합 X\displaystyle X를 정의역으로 하는 함수 f:X→X\displaystyle f : X \to X가 일대일 대응일 때 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 f\displaystyle f의 역함수 f−1:X→X\displaystyle f ^{ -1} : X \to X는 일대일함수임을 증명하시오. [7점]

(2) 함수 g:X→X\displaystyle g : X \to X, g(x)=x3\displaystyle g(x)=x ^{3}과 함수 h:X→X\displaystyle h : X \to X에 대하여 f∘g=f∘h\displaystyle f \circ g=f \circ h일 때 h(5)\displaystyle h(5)를 구하시오. [5점]

(3) 함수 f\displaystyle f에 대한 다음 명제의 참 또는 거짓을 판정하고 대우를 이용하여 증명하시오. [10점]

(f∘f)(a)≠a\displaystyle (f \circ f)(a) \ne a인 a∈X\displaystyle a \in X가 존재하면 (f−1∘f−1)(c)≠c\displaystyle (f ^{-1} \circ f ^{-1} )(c) \ne c인 c∈X\displaystyle c \in X가 존재한다.

해설강의 준비중

광운대 2020학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2020mo/jayeon_1

+4점 · k≥0\displaystyle k \ge 0임을 구했으면 +2점 · k−∣k∣=0\displaystyle k-|k|=0을 구했으면

[1] 부등식을 정리하면 (k−∣k∣)x≥k2+k−56\displaystyle (k-|k|)x \ge k ^{2} +k-56이다. 그런데 k<0\displaystyle k<0이면 k−∣k∣=2k<0\displaystyle k-|k|=2k<0이고 x≤k2+k−562k\displaystyle x \le \frac{k ^{2} +k-56}{2k} 이므로 부등식은 모든 실수 x\displaystyle x에 대해서 성립하지 않는다. 그러므로 k≥0\displaystyle k \ge 0이고 k−∣k∣=0\displaystyle k-|k|=0이다.

+3점 · −8≤k≤7\displaystyle -8 \le k \le 7를 구했으면

따라서 k2+k−56≤0\displaystyle k ^{2} +k-56 \le 0이므로 −8≤k≤7\displaystyle -8 \le k \le 7이다. 즉, k≥0\displaystyle k \ge 0이고 −8≤k≤7\displaystyle -8 \le k \le 7이므로 0≤k≤7\displaystyle 0 \le k \le 7이다.

+4점 · k\displaystyle k의 최솟값 0\displaystyle 0, k\displaystyle k의 최댓값 7\displaystyle 7을 구했으면(각각 2점씩)

그러므로 k\displaystyle k의 최솟값은 0\displaystyle 0이고 k\displaystyle k의 최댓값은 7\displaystyle 7이다.

+2점 · A\displaystyle A를 유한집합이라 가정하고 A\displaystyle A에 속하는 원소 중에 가장 큰 원소가 존재함을 설명하였으면 +2점 · A\displaystyle A에 속하는 원소 중에 가장 큰 원소를 a\displaystyle a라 놓고 a+10∈A\displaystyle a+10 \in A을 설명하였으면 +2점 · a<a+10\displaystyle a<a+10이므로 a\displaystyle a가 A\displaystyle A에 속하는 원소 중에 가장 큰 원소라는 것에 모순임을 보였으면

[2] (1) A\displaystyle A가 유한집합이라 가정하면 A\displaystyle A에 속하는 원소 중에 가장 큰 원소가 존재한다. 이를 a\displaystyle a라 놓으면 주어진 조건에 따라서 a+10∈A\displaystyle a+10 \in A 이다. 그런데 a<a+10\displaystyle a<a+10이므로 a\displaystyle a가 A\displaystyle A에 속하는 원소 중에 가장 큰 원소라는 것에 모순이 된다. 따라서 A\displaystyle A는 무한집합이다.

+3점 · B\displaystyle B가 무한집합임을 언급하였으면 +3점 · t∈B\displaystyle t \in B이면 t>1\displaystyle t>1임을 보였으면 (또는, B={t∣t>1,단, t는 실수}\displaystyle B = \left\{ t | t>1, \text{단, }t\text{는 실수}\right\}임을 보였으면) +3점 · t>1\displaystyle t>1이면 t+10>1\displaystyle t+10>1이므로 t+10∈B\displaystyle t+10 \in B임을 설명하였으면

(2) t∈B\displaystyle t \in B이면 t(t−1)>0\displaystyle t(t-1)>0이고 t>0\displaystyle t>0이다. 따라서 t∈B\displaystyle t \in B이면 t>1\displaystyle t>1이므로 B={t∣t>1,단, t는 실수}\displaystyle B = \left\{ t | t>1, \text{단, }t\text{는 실수}\right\}이다. 그런데 t>1\displaystyle t>1이면 t+10>1\displaystyle t+10>1이므로 조건 “t∈B\displaystyle t \in B이면 t+10∈B\displaystyle t+10 \in B이다”를 만족시킨다. 그러므로 (1)에 의해서 B\displaystyle B는 무한집합이다.

+3점 · f−1(a)=f−1(b)\displaystyle f ^{ -1} (a)=f ^{ -1} (b)라고 가정하였으면 +2점 · f(f−1(a))=f(f−1(b))\displaystyle f(f ^{ -1} (a))=f(f ^{ -1} (b))를 구했으면 +2점 · f∘f−1\displaystyle f \circ f ^{ -1}는 항등함수이므로 a=b\displaystyle a=b임을 설명하였으면

[3] (1) f−1(a)=f−1(b)\displaystyle f ^{ -1} (a)=f ^{ -1} (b)라고 가정하면 f(f−1(a))=f(f−1(b))\displaystyle f(f ^{ -1} (a))=f(f ^{ -1} (b))이고 f∘f−1\displaystyle f \circ f ^{ -1}는 항등함수이므로 a=b\displaystyle a=b이다. 따라서 f−1\displaystyle f ^{ -1}는 일대일함수이다.

+3점 · g(x)=h(x)\displaystyle g(x)=h(x)를 구했으면

(2) f∘g=f∘h\displaystyle f \circ g=f \circ h이므로 f(g(x))=f(h(x))\displaystyle f(g(x))=f(h(x))이다. 그런데 f\displaystyle f는 일대일함수이므로 g(x)=h(x)\displaystyle g(x)=h(x)이다.

+2점 · h(5)=125\displaystyle h(5)=125를 구했으면

그런데 g(x)=x3\displaystyle g(x)=x ^{3}이므로 h(x)=x3\displaystyle h(x)=x ^{3}이고 h(5)=125\displaystyle h(5)=125이다.

+3점 · 모든 c∈X\displaystyle c \in X에 대하여 (f−1∘f−1)(c)=c\displaystyle (f ^{-1} \circ f ^{-1} )(c)=c가 성립한다고 가정하였으면 +2점 · f−1(c)=f(c)\displaystyle f ^{-1} (c)=f(c)임을 보였으면

(3) 모든 c∈X\displaystyle c \in X에 대하여 (f−1∘f−1)(c)=c\displaystyle (f ^{-1} \circ f ^{-1} )(c)=c가 성립한다고 가정하자. 그러면 f((f−1∘f−1)(c))=f(c)\displaystyle f((f ^{-1} \circ f ^{-1} )(c))=f(c)이다. 그런데 f((f−1∘f−1)(c))=(f∘f−1)(f−1(c))=f−1(c)\displaystyle f((f ^{-1} \circ f ^{-1} )(c))=(f \circ f ^{-1} )(f ^{-1} (c))=f ^{-1} (c)이므로 f−1(c)=f(c)\displaystyle f ^{-1} (c)=f(c)이다.

+3점 · 모든 c∈X\displaystyle c \in X에 대하여 (f∘f)(c)=c\displaystyle (f \circ f)(c)=c임을 보이고 대우가 참임을 설명하였으면

따라서 c=f(f−1(c))=f(f(c))\displaystyle c=f(f ^{-1} (c))=f(f(c))이므로 모든 c∈X\displaystyle c \in X에 대하여 (f∘f)(c)=c\displaystyle (f \circ f)(c)=c이다.

+2점 · 주어진 명제가 참임을 언급하였으면

즉, 주어진 명제의 대우는 참이므로 주어진 명제는 참이다.

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