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자연계열 2번

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광운대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2020mo/jayeon_2

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문제

[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, ddx∫axf(t)dt=f(x)\displaystyle \frac{d}{dx} \int _a^x {f(t)} dt =f(x) (단, a<x<b\displaystyle a<x<b)

2. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(x)\displaystyle f(x)의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle F(x)라고 하면

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int _a^b {f(x)} dx =F(b)-F(a)

3. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 세 실수 a, b, c\displaystyle a,~b,~c를 포함하는 닫힌 구간에서 연속일 때,

∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=∫abf(x)dx\displaystyle \int _a^c f(x) dx + \int _c^b f(x ) dx= \int _a^b f(x) dx

4. 점 (x1,y1)\displaystyle (x _{1} , y _{1} )과 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by +c=0 사이의 거리 d\displaystyle d는

d=∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle d= \frac{|ax_1 +by_1 +c|}{\sqrt {a^2 +b^2}}

[1] 모든 실수 x\displaystyle x에서 정의된 함수 f(x)=∫x−2x(t+2∣t−2∣)dt\displaystyle f (x)=\int _{x-2}^x (t+2|t-2|) dt에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) x≤2\displaystyle x \le 2 일 때, lim⁡x→0f(2x)−f(sin⁡x)x\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{f (2x)-f (\sin x)}{x}를 구하시오. [6점]

(2) 도함수 ddxf(x)\displaystyle \frac{d}{dx} f (x)를 구하시오. [9점]

(3) 2≤x≤4\displaystyle 2 \le x \le 4일 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f (x) 위의 점을 P\displaystyle P라고 하자. 두 정점 A(3,0)\displaystyle A(3,0), B(4,2)\displaystyle B(4,2)와 점 P\displaystyle P가 이루는 삼각형 PAB\displaystyle PAB의 넓이의 최솟값과 그때 점 P\displaystyle P의 좌표를 구하시오. [12점]

(4) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≥112\displaystyle f (x) \ge \frac{11}{2}임을 보이시오. [10점]

[2] 계수가 실수인 삼차함수 g(x)\displaystyle g(x)는 다음 조건들을 모두 만족시킨다.

(ⅰ) g(x)\displaystyle g(x)의 최고차항의 계수는 1이다.

(ⅱ) g(x)\displaystyle g(x)는 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)로 나누어 떨어진다.

(ⅲ) g(0)=27\displaystyle g(0)=27

(1) 함수 g(x)\displaystyle g(x)를 구하시오. [8점]

(2) 두 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)와 y=g′(x)\displaystyle y=g^{\prime}(x)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [5점]

해설강의 준비중

광운대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2020mo/jayeon_2

+4점 · x≤2\displaystyle x \le 2일 때, f(x)=−2x+10\displaystyle f(x)=-2x+10을 구했으면

[1] (1) x≤2\displaystyle x \le 2이므로 f(x)=∫x−2x(−t+4)dt=[−12t2+4t]x−2x=−2x+10\displaystyle f (x)=\int _{x-2}^x (-t +4) dt= \Biggl[ - \frac{1}{2} t^2 +4t \Biggr]_{x-2}^x = -2x + 10이다.

+2점 · 극한값 −2\displaystyle -2를 구했으면

따라서 lim⁡x→0f(2x)−f(sin⁡x)x=lim⁡x→0−4x+10+2sin⁡x−10x=lim⁡x→0(−4+2sin⁡xx)=−2\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(\sin x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{-4x+10+2\sin x-10}{x}=\lim_{x\to0}\left(-4+\frac{2\sin x}{x}\right)=-2이다.

(2) 제시문 1과 3을 이용하면 임의의 실수 a\displaystyle a에 대해서

+2점 · f(x)=∫ax(t+2∣t−2∣)dt+∫x−2a(t+2∣t−2∣)dt\displaystyle f (x)= \int _a^x \left( t+2|t-2| \right) dt + \int _{x-2}^a \left( t+2|t-2| \right) dt를 표현했으면
+2점 · f(x)=∫ax(t+2∣t−2∣)dt−∫ax−2(t+2∣t−2∣)dt\displaystyle f(x)= \int _a^x \left( t+2|t-2| \right) dt - \int _a^{x-2} \left( t+2|t-2| \right) dt를 표현했으면

f(x)=∫ax(t+2∣t−2∣)dt+∫x−2a(t+2∣t−2∣)dt=∫ax(t+2∣t−2∣)dt−∫ax−2(t+2∣t−2∣)dt\displaystyle f (x)= \int _a^x \left(t+2|t-2|\right) dt + \int _{x-2}^a \left(t+2|t-2|\right) dt= \int _a^x \left(t+2|t-2|\right) dt - \int _a^{x-2} \left(t+2|t-2|\right) dt이므로

+2점 · ddxf(x)=ddx∫ax(t+2∣t−2∣)dt−ddx∫ax−2(t+2∣t−2∣)dt\displaystyle \frac{d}{dx} f (x)= \frac{d}{dx} \int _a^x \left( t+2|t-2| \right) dt - \frac{d}{dx} \int _a^{x-2} \left( t+2|t-2| \right) dt를 표현했으면

ddxf(x)=ddx∫ax(t+2∣t−2∣)dt−ddx∫ax−2(t+2∣t−2∣)dt=x+2∣x−2∣−(x−2)−2∣(x−2)−2∣\displaystyle \frac{d}{dx} f (x)= \frac{d}{dx} \int _a^x \left(t+2|t-2|\right) dt - \frac{d}{dx} \int _a^{x-2} \left(t+2|t-2|\right) dt=x+2|x-2| -(x-2)-2|(x-2)-2|

+3점 · 2+2∣x−2∣−2∣x−4∣\displaystyle 2+2|x-2|-2|x-4|를 구했으면

=2+2∣x−2∣−2∣x−4∣\displaystyle =2+2|x-2|-2|x-4|이다.

+4점 · 2≤x≤4\displaystyle 2 \le x \le 4일 때, f(x)=2x2−10x+18\displaystyle f(x)= 2x^2 -10x + 18을 구했으면

(3) 2≤x≤4\displaystyle 2 \le x \le 4이면 x−2≤2≤x\displaystyle x-2 \le 2 \le x가 성립하므로 f(x)=∫x−2x(t+2∣t−2∣)dt=∫x−22(−t+4)dt+∫2x(3t−4)dt=[−12t2+4t]x−22+[32t2−4t]2x=2x2−10x+18\displaystyle f (x)=\int _{x-2}^x (t+2|t-2|) dt=\int _{x-2}^2 (-t+4) dt+\int _2^x (3t-4) dt= \Biggl[ - \frac{1}{2} t^2 +4t \Biggr]_{x-2}^2 + \Biggl[ \frac{3}{2} t^2 -4t \Biggr]_2^x= 2x^2 -10x + 18이다.

+4점 · 곡선 위의 점 중에서 직선 AB\displaystyle AB와 최단거리에 있는 점 (3,6)\displaystyle (3,6)을 구했으면

삼각형 PAB\displaystyle PAB에서 선분 AB\displaystyle AB를 밑변으로 정하자. 그리고 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 P\displaystyle P 중에서 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 접선의 기울기가 직선 AB\displaystyle AB의 기울기인 2\displaystyle 2와 같게 되는 점을 P0\displaystyle P_0라고 하자. f′(x)=4x−10=2\displaystyle f^{\prime} (x)=4x-10=2이므로 점 P0\displaystyle P_0의 좌표는 (3,6)\displaystyle (3,6)이다. 점 P0\displaystyle P_0는 곡선 위의 점 P\displaystyle P 중에서 직선 AB\displaystyle AB와 최단거리에 있는 점이므로 삼각형 P0AB\displaystyle P_0 AB는 삼각형 PAB\displaystyle PAB의 넓이를 최소로 하는 삼각형이다.

+2점 · (3,6)\displaystyle (3,6)과 직선 AB\displaystyle AB 사이의 거리를 구했으면

제시문 4를 이용하여 점 P0\displaystyle P_0와 직선 AB\displaystyle AB 사이의 거리 d\displaystyle d를 구하면, 직선 AB\displaystyle AB의 방정식은 y=2x−6\displaystyle y=2x-6이므로 d=∣2×3−6−6∣5=65\displaystyle d= \frac{|2 \times 3 -6-6|}{\sqrt 5} = \frac{6}{\sqrt5}이다.

+2점 · 삼각형 PAB\displaystyle PAB의 넓이의 최솟값을 구했으면

그리고 선분 AB\displaystyle AB의 길이는 5\displaystyle \sqrt 5이다. 따라서 삼각형 PAB\displaystyle PAB의 넓이의 최솟값인 삼각형 P0AB\displaystyle P_0 AB의 넓이는 12×5×65=3\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt 5 \times \frac6{\sqrt5} =3이다.

(4) (a) x≤2\displaystyle x \le 2일 때, (1)에서와 같이 f(x)=−2x+10\displaystyle f (x) =-2x + 10이다.

+4점 · 4≤x\displaystyle 4 \le x일 때, f(x)=6x−14\displaystyle f(x)=6x-14를 구했으면

(b) 2≤x−2\displaystyle 2 \le x-2 즉, 4≤x\displaystyle 4 \le x일 때, f(x)=∫x−2x(3t−4)dt=[32t2−4t]x−2x=6x−14\displaystyle f (x) = \int _{x-2}^x (3t-4) dt = \Biggl[ \frac{3}{2} t^2 -4t \Biggr]_{x-2}^x = 6x - 14이다.

+3점 · f(x)\displaystyle f (x)는 x=52\displaystyle x= \frac{5}{2}에서 최솟값이 112\displaystyle \frac{11}{2}임을 보이면

(c) x−2≤2≤x\displaystyle x-2 \le 2 \le x 즉, 2≤x≤4\displaystyle 2 \le x \le 4일 때, (3)에서와 같이 f(x)=2x2−10x+18=2(x−52)2+112\displaystyle f(x)= 2x^2 -10x + 18 =2\left(x- \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{11}{2}이다.

+3점 · f(x)\displaystyle f(x)가 2≤x≤4\displaystyle 2 \le x \le 4에서 최솟값을 가지는 이유를 설명했으면

실수 전체에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x≤2\displaystyle x \le 2에서 감소이고, 2≤x≤4\displaystyle 2 \le x \le 4에서 f(x)≥112\displaystyle f(x) \ge \frac{11}{2}이며, 4≤x\displaystyle 4 \le x에서는 증가이다. 따라서 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≥112\displaystyle f(x) \ge \frac{11}{2}이다.

[2] (1) 조건 (ⅰ)을 이용하여 g(x)=x3+ax2+bx+c\displaystyle g(x)=x^3 +ax^2 +bx +c라 하자.

+2점 · 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)를 이용하여 g(x)=(13x+t)(3x2+2ax+b)\displaystyle g(x) = \left( \frac{1}{3} x +t \right)(3x^2 +2ax +b)를 구했으면

g′(x)=3x2+2ax+b\displaystyle g^{\prime}(x) =3x^2 +2ax +b와 조건 (ⅱ)를 이용하면 g(x)=(13x+t)(3x2+2ax+b)\displaystyle g(x) = \left( \frac{1}{3} x +t \right)(3x^2 +2ax +b)를 얻는다.

+2점 · 계수를 비교하여 9t=a\displaystyle 9t=a, 3at=b\displaystyle 3at=b, bt=c\displaystyle bt=c를 구했으면

g(x)\displaystyle g(x)를 전개하여 계수를 비교하면 9t=a\displaystyle 9t=a, 3at=b\displaystyle 3at=b, bt=c\displaystyle bt=c이다.

+2점 · g(x)=(x+3t)3\displaystyle g(x) =(x+3t)^3을 구했으면

따라서 g(x)=x3+9tx2+27t2x+27t3=(x+3t)3\displaystyle g(x) =x^3 +9tx^2 +27t^2 x + 27t^3 =(x+3t)^3이다.

+2점 · 조건 (ⅲ)을 이용하여 g(x)=(x+3)3\displaystyle g(x)=(x+3)^3을 구했으면

조건 (ⅲ)을 이용하면 t=1\displaystyle t=1이므로 g(x)=(x+3)3\displaystyle g(x)=(x+3)^3이다.

+2점 · −3≤x≤0\displaystyle -3 \le x \le 0에서 g′(x)≥g(x)\displaystyle g^{\prime}(x) \ge g(x)를 설명했으면

(2) 두 곡선 y=g(x)=(x+3)3\displaystyle y=g(x)=(x+3)^3과 y=g′(x)=3(x+3)2\displaystyle y=g^{\prime} (x)=3(x+3)^2의 교점의 x\displaystyle x좌표는 −3\displaystyle -3과 0\displaystyle 0이다.−3≤x≤0\displaystyle -3 \le x \le 0에서 g′(x)≥g(x)\displaystyle g^{\prime}(x) \ge g(x)이므로 두 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)와 y=g′(x)\displaystyle y=g^{\prime}(x)로 둘러싸인 도형의 넓이는

+1점 · ∫−30{3(x+3)2−(x+3)3}dx\displaystyle \int _{-3}^0 \left\{3(x+3)^2 -(x+3)^3 \right\} dx를 표현했으면
+2점 · 274\displaystyle \frac{27}{4}을 구했으면

∫−30{3(x+3)2−(x+3)3}dx=[(x+3)3−(x+3)44]−30=274\displaystyle \int_{-3}^{0}\left\{3(x+3)^2-(x+3)^3\right\}dx=\Biggl[(x+3)^3-\frac{(x+3)^4}{4}\Biggr]_{-3}^0=\frac{27}{4}이다.

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