자연계열 2번

[1] (1) $\displaystyle x \le 2$이므로 $\displaystyle f (x)=\int _{x-2}^x (-t +4) dt= \Biggl[ - \frac{1}{2} t^2 +4t \Biggr]_{x-2}^x = -2x + 10$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(2x)-f(\sin x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{-4x+10+2\sin x-10}{x}=\lim_{x\to0}\left(-4+\frac{2\sin x}{x}\right)=-2$이다.

$\displaystyle f (x)= \int _a^x \left(t+2|t-2|\right) dt + \int _{x-2}^a \left(t+2|t-2|\right) dt= \int _a^x \left(t+2|t-2|\right) dt - \int _a^{x-2} \left(t+2|t-2|\right) dt$이므로

$\displaystyle \frac{d}{dx} f (x)= \frac{d}{dx} \int _a^x \left(t+2|t-2|\right) dt - \frac{d}{dx} \int _a^{x-2} \left(t+2|t-2|\right) dt=x+2|x-2| -(x-2)-2|(x-2)-2|$$\displaystyle =2+2|x-2|-2|x-4|$이다.

(3) $\displaystyle 2 \le x \le 4$이면 $\displaystyle x-2 \le 2 \le x$가 성립하므로 $\displaystyle f (x)=\int _{x-2}^x (t+2|t-2|) dt=\int _{x-2}^2 (-t+4) dt+\int _2^x (3t-4) dt= \Biggl[ - \frac{1}{2} t^2 +4t \Biggr]_{x-2}^2 + \Biggl[ \frac{3}{2} t^2 -4t \Biggr]_2^x= 2x^2 -10x + 18$이다.

삼각형 $\displaystyle PAB$에서 선분 $\displaystyle AB$를 밑변으로 정하자. 그리고 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle P$ 중에서 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 기울기가 직선 $\displaystyle AB$의 기울기인 $\displaystyle 2$와 같게 되는 점을 $\displaystyle P_0$라고 하자. $\displaystyle f^{\prime} (x)=4x-10=2$이므로 점 $\displaystyle P_0$의 좌표는 $\displaystyle (3,6)$이다. 점 $\displaystyle P_0$는 곡선 위의 점 $\displaystyle P$ 중에서 직선 $\displaystyle AB$와 최단거리에 있는 점이므로 삼각형 $\displaystyle P_0 AB$는 삼각형 $\displaystyle PAB$의 넓이를 최소로 하는 삼각형이다. 제시문 4를 이용하여 점 $\displaystyle P_0$와 직선 $\displaystyle AB$ 사이의 거리 $\displaystyle d$를 구하면, 직선 $\displaystyle AB$의 방정식은 $\displaystyle y=2x-6$이므로 $\displaystyle d= \frac{|2 \times 3 -6-6|}{\sqrt 5} = \frac{6}{\sqrt5}$이다. 그리고 선분 $\displaystyle AB$의 길이는 $\displaystyle \sqrt 5$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle PAB$의 넓이의 최솟값인 삼각형 $\displaystyle P_0 AB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt 5 \times \frac6{\sqrt5} =3$이다.

(b) $\displaystyle 2 \le x-2$ 즉, $\displaystyle 4 \le x$일 때, $\displaystyle f (x) = \int _{x-2}^x (3t-4) dt = \Biggl[ \frac{3}{2} t^2 -4t \Biggr]_{x-2}^x = 6x - 14$이다.

(c) $\displaystyle x-2 \le 2 \le x$ 즉, $\displaystyle 2 \le x \le 4$일 때, (3)에서와 같이 $\displaystyle f(x)= 2x^2 -10x + 18 =2\left(x- \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{11}{2}$이다.

실수 전체에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x \le 2$에서 감소이고, $\displaystyle 2 \le x \le 4$에서 $\displaystyle f(x) \ge \frac{11}{2}$이며, $\displaystyle 4 \le x$에서는 증가이다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x) \ge \frac{11}{2}$이다.

$\displaystyle g^{\prime}(x) =3x^2 +2ax +b$와 조건 (ⅱ)를 이용하면 $\displaystyle g(x) = \left( \frac{1}{3} x +t \right)(3x^2 +2ax +b)$를 얻는다.

$\displaystyle g(x)$를 전개하여 계수를 비교하면 $\displaystyle 9t=a$, $\displaystyle 3at=b$, $\displaystyle bt=c$이다.

따라서 $\displaystyle g(x) =x^3 +9tx^2 +27t^2 x + 27t^3 =(x+3t)^3$이다.

조건 (ⅲ)을 이용하면 $\displaystyle t=1$이므로 $\displaystyle g(x)=(x+3)^3$이다.

(2) 두 곡선 $\displaystyle y=g(x)=(x+3)^3$과 $\displaystyle y=g^{\prime} (x)=3(x+3)^2$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -3$과 $\displaystyle 0$이다.$\displaystyle -3 \le x \le 0$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x) \ge g(x)$이므로 두 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle y=g^{\prime}(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이는

$\displaystyle \int_{-3}^{0}\left\{3(x+3)^2-(x+3)^3\right\}dx=\Biggl[(x+3)^3-\frac{(x+3)^4}{4}\Biggr]_{-3}^0=\frac{27}{4}$이다.