자연계열 2번

[1] (1) $\displaystyle [\log t]=\begin{cases}0,&1\le t<10\\1,&10\le t<10^2\\2,&10^2\le t<10^3\\3,&10^3\le t\le2020\end{cases}$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \int_1^{2020}[\log t]\,dt=\int_1^{10}0\,dx+\int_{10}^{10^2}1\,dt+\int_{10^2}^{10^3}2\,dt+\int_{10^3}^{2020}3\,dt$

$\displaystyle =1(10^2-10)+2(10^3-10^2)+3(2020-10^3)$

$\displaystyle =90+2\cdot900+3(2020-10^3)=90+1800+3060=4950$

(2) (1)의 풀이에서 $\displaystyle [\log k]$에 대한 설명을 이용하면 $\displaystyle P(x)$는 다음과 같다.

$\displaystyle P(x)=(x^{10}-x^{11}+\cdots-x^{99})+2(x^{100}-x^{101}+\cdots-x^{999})+3(x^{1000}-x^{1001}+\cdots-x^{2019}+x^{2020})$

그러므로 모든 항의 계수의 합은 $\displaystyle P(1)=0+2\cdot0+3\cdot1=3$이다.

(3) $\displaystyle P(x)$는 연속함수이다. $\displaystyle x<0$에서 $\displaystyle -x>0$이므로

$\displaystyle P^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{2020}[\log k](-k)(-x)^{k-1}<0$이다.

따라서 제시문1에 의해 $\displaystyle x<0$에서 함수 $\displaystyle P(x)$는 감소한다.

그리고 $\displaystyle P(-1)=\displaystyle\sum_{k=1}^{2020}[\log k]=90+2\cdot900+3\cdot1021=4953,~P(0)=0$이다.

$\displaystyle g(x)=\dfrac1{1+x^2}$라 하자. $\displaystyle g(x)$는 연속함수이다. $\displaystyle x<0$에서

$\displaystyle g^{\prime}(x)=\left(\dfrac1{1+x^2}\right)^{\prime}=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}>0$이므로 제시문 1에 의해 함수 $\displaystyle g(x)$는 증가한다.

그리고 $\displaystyle g(-1)=\dfrac12<P(-1),~g(0)=1>P(0)$이다.

따라서 오직 하나의 교점을 가지므로 교점의 개수는 한 개다.

[2] (1) 조건식을 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\dfrac14\dfrac x{f(x)}$이다.

$\displaystyle \left(\sqrt3,\dfrac12\right)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle -\dfrac{\sqrt3}{4\cdot\dfrac12}=-\dfrac{\sqrt3}2$이다.

따라서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\dfrac{\sqrt3}2(x-\sqrt3)+\dfrac12=-\dfrac{\sqrt3}2x+2$이다.

(2) 제시문 2에 의해 $\displaystyle f(x)f^{\prime}(x)=-\dfrac x4$ $\displaystyle \cdots\cdots$①

조건식으로부터 $\displaystyle f(0)=1$이고 ①식의 좌변을 제시문 3에 의해 부분적분하면

$\displaystyle \int_0^xf(t)f^{\prime}(t)\,dt=\Biggl[\{f(t)\}^2\Biggr]_0^x-\int_0^xf^{\prime}(t)f(t)\,dt=\{f(x)\}^2-1-\int_0^xf^{\prime}(t)f(t)\,dt$

이므로 $\displaystyle\int_0^xf(t)f^{\prime}(t)\,dt=\dfrac{\{f(x)\}^2}2-\dfrac12$이다.

한편 ①식의 우변을 적분하면 $\displaystyle\int_0^x\left(-\dfrac t4\right)dt=-\dfrac{x^2}8$이다.

따라서 ①식의 양변의 적분 결과가 같으므로

$\displaystyle \dfrac{\{f(x)\}^2}2-\dfrac12=-\dfrac{x^2}8$. 그러므로 $\displaystyle \dfrac{y^2}2=-\dfrac{x^2}8+\dfrac12$이다.

따라서 이차곡선의 방정식은 $\displaystyle \dfrac{x^2}4+y^2=1$ $\displaystyle \left(\text{또는 }y=\pm\sqrt{1-\dfrac{x^2}4}\right)$이다.Comment. 이차곡선 전체의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$이다. 이 중 주어진 함수는 $\displaystyle f(0)=1$이고 연속이므로, $\displaystyle 0$을 포함하고 $\displaystyle f(x)\ne0$인 연결 구간에서는 양의 가지 $\displaystyle f(x)=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$에 해당한다.

[3] (1) $\displaystyle\int_{-t}^tf(x)g(x)\,dx=\int_{-t}^0f(x)g(x)\,dx+\int_0^tf(x)g(x)\,dx$이다.

위 식의 우변 중 $\displaystyle\int_{-t}^0f(x)g(x)\,dx$에 대하여 구간 $\displaystyle [-t,0]$에서의 적분을 $\displaystyle x=-s$로 치환하면 $\displaystyle dx=-ds$이고 구간 $\displaystyle [0,t]$에서의 적분으로 바뀐다.(제시문 4) 조건 (가)를 이용하면

$\displaystyle \int_{-t}^0f(x)g(x)\,dx=-\int_t^0f(-s)g(-s)\,ds=\int_0^tf(s)g(-s)\,ds=\int_0^tf(x)g(-x)\,dx$이다. 따라서

$\displaystyle \int_{-t}^tf(x)g(x)\,dx=\int_0^tf(x)g(-x)\,dx+\int_0^tf(x)g(x)\,dx=\int_0^tf(x)\{g(-x)+g(x)\}\,dx$이다.

조건 (나)에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=g^{\prime}(-x)$을 부정적분하면 $\displaystyle g(x)=-g(-x)+C$이다.($\displaystyle C$는 상수)

또한 조건 (나)의 $\displaystyle g(0)=1$로부터 $\displaystyle C=2$이므로 $\displaystyle g(x)+g(-x)=2$이다.

이것을 적용하면 $\displaystyle\int_{-t}^tf(x)g(x)\,dx=2\int_0^tf(x)\,dx$이다.

(2) $\displaystyle\int_{-t}^t\dfrac{2x\sin x}{e^x+1}\,dx=\int_{-t}^t(x\sin x)\left(\dfrac2{e^x+1}\right)dx$이다.

위 식의 우변의 적분에서 $\displaystyle f(x)=x\sin x,~g(x)=\dfrac2{e^x+1}$라 하자.

$\displaystyle f(x)=x\sin x=(-x)\sin(-x)=f(-x)$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 조건 (가)를 만족시킨다.

$\displaystyle g^{\prime}(x)=\dfrac{-2e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{-2e^{-x}}{(e^{-x}+1)^2}=g^{\prime}(-x)$이고 $\displaystyle g(0)=1$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$는 조건 (나)를 만족시킨다.

(1)의 결과와 제시문 4를 적용하면

$\displaystyle \int_{-t}^t\dfrac{2x\sin x}{e^x+1}\,dx=\int_{-t}^t(x\sin x)\left(\dfrac2{e^x+1}\right)dx=2\int_0^tx\sin x\,dx=\Biggl[-2x\cos x\Biggr]_0^t+2\int_0^t\cos x\,dx$

$\displaystyle =-2t\cos t+2\sin t$