자연계열 1번

광운대 2020학년도 수시 오전 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2020su_am/jayeon_1

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 두 변의 길이 $\displaystyle b,c$ 와 그 끼인각인 $\displaystyle \angle\mathrm{A}$ 의 크기를 알 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\dfrac12bc\sin\mathrm{A}$ 이다.

2. $\displaystyle a>0,b>0$ 일 때, $\displaystyle \dfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$ 이다. (단, 등호는 $\displaystyle a=b$ 일 때 성립한다.)

3. 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1),~\mathrm{Q}(x_2,y_2)$ 사이의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

4. 좌표평면 위의 두 직선 $\displaystyle y=mx+n,~y=m^{\prime}x+n^{\prime}$ 이 서로 수직이면 $\displaystyle mm^{\prime}=-1$ 이다.

[1] 삼각형 ABC가 다음을 만족한다. (단, $\displaystyle x >0$ )

$\displaystyle \angle\mathrm{ABC}=60^\circ,~\overline{\mathrm{AB}}=\dfrac2x+1,~\overline{\mathrm{BC}}=x+1$

삼각형 ABC의 넓이의 최솟값을 구하고, 그 때 $\displaystyle x$ 의 값을 구하시오. [10점]

[2] 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle x + 2y = 3^n$ 을 만족시키는 두 자연수의 순서쌍 $\displaystyle (x, y)$ 의 개수를 $\displaystyle a_n$ 이라 할 때,

다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle a_{1}$ , $\displaystyle a_{2}$ , $\displaystyle a_{3}$ 를 구하시오. [6점]

(2) $\displaystyle a_n$ 을 구하시오. [8점]

(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\log_3(6a_n+3)$ 을 구하시오. [8점]

[3] 함수 $\displaystyle y=2^{x+2}+4$ 의 그래프 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$ 와 함수 $\displaystyle y=2^x$ 의 그래프 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{C},\mathrm{D}$ 를 꼭짓점으로 하는 사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 는 정사각형이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표를 각각 $\displaystyle a,b,c,d$ 라 할 때 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle b<a$ 이고 $\displaystyle c<d$ 이다.)

(1) $\displaystyle b$ 를 $\displaystyle c$ 로 나타내고, 이를 이용하여 정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 구하시오. [8점]

(2) $\displaystyle d$ 를 $\displaystyle c$ 로 나타내고, 이를 이용하여 $\displaystyle c$ 를 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

광운대 2020학년도 수시 오전 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2020su_am/jayeon_1

+3점 · 삼각형의 넓이

\displaystyle S=\dfrac{\sqrt3}4\left(3+x+\dfrac2x\right)

를 구했으면

[1] 삼각형의 넓이 공식(제시문 1)으로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle S=\dfrac12\left(\dfrac2x+1\right)(x+1)\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}4\left(3+x+\dfrac2x\right)$

+4점 · 부등식

\displaystyle S\ge\dfrac{3\sqrt3+2\sqrt6}4

과 넓이의 최솟값은

\displaystyle \dfrac{3\sqrt3+2\sqrt6}4

을 구했으면

이때 $\displaystyle x>0$ 이므로 제시문 2로부터 $\displaystyle x+\dfrac2x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac2x}=2\sqrt2$ 가 성립하므로

$\displaystyle S\ge\dfrac{\sqrt3}4(3+2\sqrt2)=\dfrac{3\sqrt3+2\sqrt6}4$

따라서 넓이의 최솟값은 $\displaystyle \dfrac{3\sqrt3+2\sqrt6}4$ 이다.

+3점 · 조건

\displaystyle x=\dfrac2x

과

\displaystyle x=\sqrt2

를 구했으면

이때 $\displaystyle x$ 의 값은 제시문 2로부터 $\displaystyle x=\dfrac2x$ 을 만족한다. $\displaystyle x^2=2$ 이고, $\displaystyle x>0$ 이므로 $\displaystyle x=\sqrt2$ 이다.

+2점 · 첫째항

\displaystyle a_1=1

을 구했으면

[2] (1) $\displaystyle x+2y=3$ 에서 $\displaystyle x=1$ 일 때 $\displaystyle y=1$ 이므로 $\displaystyle a_1=1$ ,

+2점 · 둘째항

\displaystyle a_2=4

를 구했으면

$\displaystyle x+2y=9$ 에서 $\displaystyle x=1,3,5,7$ 일 때 $\displaystyle y=4,3,2,1$ 이므로 $\displaystyle a_2=4$ ,

+2점 · 셋째항

\displaystyle a_3=13

을 구했으면

$\displaystyle x+2y=27$ 에서 $\displaystyle x=1,3,5,\cdots,25$ 일 때 $\displaystyle y=13,12,\cdots,1$ 이므로 $\displaystyle a_3=13$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle x

가 홀수임을 유도했으면

(2) $\displaystyle 3^n$ 이 홀수이고 $\displaystyle 2y$ 가 짝수이므로 $\displaystyle x+2y=3^n$ 에서 $\displaystyle x$ 는 홀수이다.

+4점 ·

\displaystyle x

는 1부터

\displaystyle 3^n-2

까지의 홀수임을 또는

\displaystyle y

는

\displaystyle 1\le y\le\dfrac{3^n-1}2

인 자연수임을 유도했으면

그러므로 $\displaystyle x$ 는 1부터 $\displaystyle 3^n-2$ 까지의 홀수이다. $\displaystyle y=\dfrac{3^n-x}2$ 이고 $\displaystyle 1\le y\le\dfrac{3^n-1}2$ 인 자연수이다.

+2점 · 일반항

\displaystyle a_n=\dfrac{3^n-1}2

을 구했으면

따라서 자연수 $\displaystyle y$ 의 개수는 $\displaystyle \dfrac{3^n-1}2$ 이므로 $\displaystyle a_n=\dfrac{3^n-1}2$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle \log_3(6a_n+3)=n+1

을 구했으면

(3) $\displaystyle \log_3(6a_n+3)$ 에 일반항 $\displaystyle a_n$ 을 대입하면

$\displaystyle \log_3(6a_n+3)=\log_3\left(\dfrac{6(3^n-1)}2+3\right)=\log_33^{n+1}=n+1$

+4점 ·

\displaystyle\sum_{n=1}^{99}\log_3(6a_n+3)=5049

따라서 구하고자 하는 합은

$\displaystyle \sum_{n=1}^{99}\log_3(6a_n+3)=\sum_{n=1}^{99}(n+1)=\sum_{n=1}^{100}n-1=\dfrac{100\cdot101}2-1=5049$

+2점 ·

\displaystyle a-b=d-c

와

\displaystyle 2^{a+2}-2^{b+2}=2^d-2^c

를 유도했으면

[3] (1) $\displaystyle \mathrm{A}(a,2^{a+2}+4),~\mathrm{B}(b,2^{b+2}+4),~\mathrm{C}(c,2^c),~\mathrm{D}(d,2^d)$ 에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ 이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle (a-b,2^{a+2}-2^{b+2})=(d-c,2^d-2^c)$

$\displaystyle a-b=d-c\quad\cdots\text{①}$

$\displaystyle 2^{a+2}-2^{b+2}=2^d-2^c\quad\cdots\text{②}$

+4점 ·

\displaystyle b=c-2

를 구했으면

지수법칙을 사용하여 식 ②를 인수분해하면

$\displaystyle 2^{b+2}(2^{a-b}-1)=2^c(2^{d-c}-1)$

식 ①에서 $\displaystyle a-b=d-c\ne0$ 이므로 $\displaystyle 2^{a-b}-1=2^{d-c}-1\ne0$ 이다.

따라서 $\displaystyle 2^{b+2}=2^c,~b+2=c$ 이다. 즉 $\displaystyle b=c-2$ 이다.

+2점 · 정사각형

\displaystyle \mathrm{ABCD}

의 한 변의 길이

\displaystyle =2\sqrt5

를 구했으면

위 결과를 이용하여 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 한 변의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 를 구하면 다음과 같다.

(제시문 3)

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{BC}}&=\sqrt{(b-c)^2+(2^{b+2}+4-2^c)^2}=\sqrt{(c-2-c)^2+(2^c+4-2^c)^2}\\&=\sqrt{4+16}=2\sqrt5\end{aligned}$

+2점 · 직선

\displaystyle \mathrm{CD}

의 기울기

\displaystyle =\dfrac12

를 구했으면

(2) 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{2^c-2^{b+2}-4}{c-b}=\dfrac{2^c-2^c-4}2=-2$ 이다.

그리고 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 와 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 는 서로 수직이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 의 기울기는 $\displaystyle \dfrac12$ 이다.(제시문 4를 이용)

+2점 ·

\displaystyle 2^d-2^c=\dfrac{d-c}2

를 유도했으면

따라서 $\displaystyle 2^d-2^c=\dfrac{d-c}2$ $\displaystyle \cdots\cdots$ ③

+3점 ·

\displaystyle d=c+4

를 구했으면

한편 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{CD}}$ 이므로 $\displaystyle (d-c)^2+\left(\dfrac{d-c}2\right)^2=20$

$\displaystyle (d-c)^2=16$

여기서 $\displaystyle d-c>0$ 이므로 $\displaystyle d-c=4$ 이다. 따라서 $\displaystyle d=c+4$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle c=\log_2\dfrac2{15}=1-\log_215

를 구했으면

식 ③에 $\displaystyle d=c+4$ 를 대입하면 $\displaystyle 2^{c+4}-2^c=2^c(2^4-1)=2$ 이다.

이 식으로부터 $\displaystyle 2^c=\dfrac2{15}$ 이므로

양변에 2를 밑으로 하는 로그를 취하면 $\displaystyle c=\log_2\dfrac2{15}=1-\log_215$ 이다.

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