자연계열 1번

[1] 삼각형의 넓이 공식(제시문 1)으로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle S=\dfrac12\left(\dfrac2x+1\right)(x+1)\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}4\left(3+x+\dfrac2x\right)$

이때 $\displaystyle x>0$이므로 제시문 2로부터 $\displaystyle x+\dfrac2x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac2x}=2\sqrt2$가 성립하므로

$\displaystyle S\ge\dfrac{\sqrt3}4(3+2\sqrt2)=\dfrac{3\sqrt3+2\sqrt6}4$

따라서 넓이의 최솟값은 $\displaystyle \dfrac{3\sqrt3+2\sqrt6}4$이다.

이때 $\displaystyle x$의 값은 제시문 2로부터 $\displaystyle x=\dfrac2x$을 만족한다. $\displaystyle x^2=2$이고, $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x=\sqrt2$이다.

[2] (1) $\displaystyle x+2y=3$에서 $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle y=1$이므로 $\displaystyle a_1=1$,

$\displaystyle x+2y=9$에서 $\displaystyle x=1,3,5,7$일 때 $\displaystyle y=4,3,2,1$이므로 $\displaystyle a_2=4$,

$\displaystyle x+2y=27$에서 $\displaystyle x=1,3,5,\cdots,25$일 때 $\displaystyle y=13,12,\cdots,1$이므로 $\displaystyle a_3=13$이다.

(2) $\displaystyle 3^n$이 홀수이고 $\displaystyle 2y$가 짝수이므로 $\displaystyle x+2y=3^n$에서 $\displaystyle x$는 홀수이다.

그러므로 $\displaystyle x$는 1부터 $\displaystyle 3^n-2$까지의 홀수이다. $\displaystyle y=\dfrac{3^n-x}2$이고 $\displaystyle 1\le y\le\dfrac{3^n-1}2$인 자연수이다.

따라서 자연수 $\displaystyle y$의 개수는 $\displaystyle \dfrac{3^n-1}2$이므로 $\displaystyle a_n=\dfrac{3^n-1}2$이다.

(3) $\displaystyle \log_3(6a_n+3)$에 일반항 $\displaystyle a_n$을 대입하면

$\displaystyle \log_3(6a_n+3)=\log_3\left(\dfrac{6(3^n-1)}2+3\right)=\log_33^{n+1}=n+1$

따라서 구하고자 하는 합은

$\displaystyle \sum_{n=1}^{99}\log_3(6a_n+3)=\sum_{n=1}^{99}(n+1)=\sum_{n=1}^{100}n-1=\dfrac{100\cdot101}2-1=5049$

[3] (1) $\displaystyle \mathrm{A}(a,2^{a+2}+4),~\mathrm{B}(b,2^{b+2}+4),~\mathrm{C}(c,2^c),~\mathrm{D}(d,2^d)$에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle (a-b,2^{a+2}-2^{b+2})=(d-c,2^d-2^c)$

$\displaystyle a-b=d-c\quad\cdots\text{①}$

$\displaystyle 2^{a+2}-2^{b+2}=2^d-2^c\quad\cdots\text{②}$

지수법칙을 사용하여 식 ②를 인수분해하면

$\displaystyle 2^{b+2}(2^{a-b}-1)=2^c(2^{d-c}-1)$

식 ①에서 $\displaystyle a-b=d-c\ne0$이므로 $\displaystyle 2^{a-b}-1=2^{d-c}-1\ne0$이다.

따라서 $\displaystyle 2^{b+2}=2^c,~b+2=c$이다. 즉 $\displaystyle b=c-2$이다.

위 결과를 이용하여 정사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$를 구하면 다음과 같다.

(제시문 3)

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{BC}}&=\sqrt{(b-c)^2+(2^{b+2}+4-2^c)^2}=\sqrt{(c-2-c)^2+(2^c+4-2^c)^2}\\&=\sqrt{4+16}=2\sqrt5\end{aligned}$

(2) 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{2^c-2^{b+2}-4}{c-b}=\dfrac{2^c-2^c-4}2=-2$이다.

그리고 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$는 서로 수직이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 기울기는 $\displaystyle \dfrac12$이다.(제시문 4를 이용)

따라서 $\displaystyle 2^d-2^c=\dfrac{d-c}2$ $\displaystyle \cdots\cdots$③

한편 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{CD}}$이므로 $\displaystyle (d-c)^2+\left(\dfrac{d-c}2\right)^2=20$

$\displaystyle (d-c)^2=16$

여기서 $\displaystyle d-c>0$이므로 $\displaystyle d-c=4$이다. 따라서 $\displaystyle d=c+4$이다.

식 ③에 $\displaystyle d=c+4$를 대입하면 $\displaystyle 2^{c+4}-2^c=2^c(2^4-1)=2$이다.

이 식으로부터 $\displaystyle 2^c=\dfrac2{15}$이므로

양변에 2를 밑으로 하는 로그를 취하면 $\displaystyle c=\log_2\dfrac2{15}=1-\log_215$이다.