자연계열 2번

[1] (1) 함수 $\displaystyle y=\sin x$는 주기가 $\displaystyle 2\pi$이며 원점 대칭이므로 $\displaystyle \sin(-x)=-\sin x$이다.

함수 $\displaystyle y=\cos x$는 $\displaystyle y$축 대칭이므로 $\displaystyle \cos(\sin(-x))=\cos(\sin x)$이다.

이 사실들로부터 $\displaystyle f(x+\pi)=\cos(\sin(x+\pi))=\cos(-\sin x)=\cos(\sin x)=f(x)$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle p=\pi$이다.

(2) 삼각함수는 모든 실수에서 미분가능하므로 제시문 1의 합성함수 미분법으로부터 함수 $\displaystyle f(x)$는 모든 실수에서 미분가능하다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=-\sin(\sin x)\cos x=0$으로부터 $\displaystyle \sin(\sin x)=0$ 혹은 $\displaystyle \cos x=0$이다.

$\displaystyle \sin(\sin x)=0$으로부터 $\displaystyle \sin x=n\pi$ ($\displaystyle n$은 정수)이다. 그런데 $\displaystyle |\sin x|\le1$이므로 $\displaystyle \sin x=0$이다. 이로부터 $\displaystyle x=n\pi$을 얻는다. $\displaystyle \cdots$①

한편, $\displaystyle \cos x=0$으로부터 $\displaystyle x=\dfrac\pi2+n\pi$ ($\displaystyle n$은 정수)을 얻는다. $\displaystyle \cdots$②

①,②로부터 가장 작은 양수는 $\displaystyle \dfrac\pi2$이다.

또한 $\displaystyle f^{\prime}\left(\dfrac\pi2-h\right)<0$이고 $\displaystyle f^{\prime}\left(\dfrac\pi2+h\right)>0$ ($\displaystyle h$은 작은 양수)이므로 제시문 3에 의해 $\displaystyle x=\dfrac\pi2$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 극솟값을 가진다.

(3) $\displaystyle f^{\prime}(-h)>0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(h)<0$ ($\displaystyle h$은 작은 양수)이므로 제시문 3에 의해 $\displaystyle x=0$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 극댓값을 가진다. 또한 (1)에서 $\displaystyle f(x+\pi)=f(x)$이므로 $\displaystyle x=n\pi$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 극댓값을 가진다.

한편, (2)로부터 $\displaystyle f\left(\dfrac\pi2\right)$는 극솟값이며 함수 $\displaystyle f(x)$의 주기성으로부터 $\displaystyle x=\dfrac\pi2+n\pi$ ($\displaystyle n$은 정수)에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 모두 극솟값을 가진다.

이로부터 $\displaystyle f(x)$가 극솟값이 되는 양수 $\displaystyle x$를 작은 값부터 정리하면

$\displaystyle x_k=\dfrac{2k-1}2\pi$ ($\displaystyle k=1,2,3,\cdots$)이다.

$\displaystyle \dfrac{\pi^2}{x_kx_{k+1}}=\dfrac4{(2k-1)(2k+1)}=2\left(\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k+1}\right)$이므로

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{\pi}{x_kx_{k+1}}=\lim_{n\to\infty}2\left(\dfrac12-\dfrac13+\dfrac13-\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2n-1}+\dfrac1{2n+1}\right)=1$이다.Correction. 마지막 줄의 분자 $\displaystyle \pi$는 $\displaystyle \pi^2$, 전개 첫 항 $\displaystyle \frac12$은 $\displaystyle 1$, 끝 항 앞의 $\displaystyle +$는 $\displaystyle -$의 오기이다. 부분합은 $\displaystyle 2\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$이므로 극한값 $\displaystyle 1$은 $\displaystyle 2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[2] (1) $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2-a^2,&x<-a\\\sqrt{x+a},&-a\le x<0\\\sqrt{a-x},&0\le x\le a\\x^2-a^2,&a<x\end{cases}$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$는 경계점을 제외한 각 구간 안에서 미분가능하므로 경계점에서 좌우미분계수를 조사한다.

(i) $\displaystyle x=-a$의 경우

우미분계수는 $\displaystyle\lim_{h\to0+}\dfrac{\sqrt{-a+h+a}-\sqrt{-a+a}}h=\lim_{h\to0+}\dfrac1{\sqrt h}=\infty$이므로 제시문 4에 의해 미분가능하지 않다.

(ii) $\displaystyle x=0$의 경우

좌미분계수는 $\displaystyle\lim_{h\to0-}\dfrac{\sqrt{h+a}-\sqrt{0+a}}h=\lim_{h\to0-}\dfrac1{\sqrt{h+a}+\sqrt a}=\dfrac1{2\sqrt a}$이고

우미분계수는 $\displaystyle\lim_{h\to0+}\dfrac{\sqrt{a-h}-\sqrt{a-0}}h=\lim_{h\to0+}\dfrac{-1}{\sqrt{a-h}+\sqrt a}=-\dfrac1{2\sqrt a}$이므로 값이 일치하지 않아 제시문 4에 의해 미분가능하지 않다.

(iii) $\displaystyle x=a$의 경우

좌미분계수는 $\displaystyle\lim_{h\to0-}\dfrac{\sqrt{a-a-h}-\sqrt{a-a}}h=\lim_{h\to0-}\dfrac{-1}{\sqrt{-h}}=-\infty$이므로 제시문 4에 의해 미분가능하지 않다.

따라서 (i), (ii), (iii)으로부터 $\displaystyle x=-a,~0,~a$에서 미분가능하지 않다.

(2) $\displaystyle y=x+1$과 $\displaystyle y=f(x)$의 교점 개수가 4개가 되기 위해서는 직선이 다음 두 가지 경우의 사이에 있어야 한다.

(i) 직선 $\displaystyle y=x+1$가 $\displaystyle (-a,0)$를 지나는 경우 대입하면 $\displaystyle a=1$이다.

(ii) 직선 $\displaystyle y=x+1$가 $\displaystyle y=\sqrt{x+a}$와 접하는 경우

$\displaystyle y$를 소거한 식 $\displaystyle x^2+x+1-a=0$이 중근을 가져야하므로 $\displaystyle D=1-4(1-a)=0,~a=\dfrac34$이다.

따라서 (i), (ii)로부터 $\displaystyle \dfrac34<a<1$이다.

(3) $\displaystyle \dfrac{y-\sqrt a}{x-a}=t$라고 하면 $\displaystyle y=t(x-a)+\sqrt a$ $\displaystyle \cdots$①이다.

이것은 기울기 $\displaystyle t$에 관계없이 점 $\displaystyle (a,\sqrt a)$를 지나는 직선이다.

점 $\displaystyle (a,\sqrt a)$을 지나면서 $\displaystyle (x,y)$가 위치하는 영역과 만날 수 있는 직선은 점 $\displaystyle (0,\sqrt a)$을 지나는 경우를 포함하고 점 $\displaystyle (a,0)$을 지나는 경우를 제외한 그 사이에 위치한다.

(i) 직선 ①이 점 $\displaystyle (0,\sqrt a)$를 지나는 경우, ①에 대입하면 $\displaystyle t=0$이다.

(ii) 직선 ①이 점 $\displaystyle (a,0)$를 지날 수는 없으므로 그 점에 가까워지는 경우 직선 ①의 $\displaystyle x$절편이 $\displaystyle a$로 가까워질수록 기울기 $\displaystyle t$는 한없이 커진다.

따라서 (i), (ii)로부터 $\displaystyle 0\le\dfrac{y-\sqrt a}{x-a}$이다.