자연계열 1번

[1] (1) 선분 $\displaystyle AB$를 $\displaystyle m:(3-m)$으로 내분하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\dfrac{5m-(3-m)}{m+(3-m)},\dfrac{3m-3(3-m)}{m+(3-m)}\right)=(2m-1,2m-3)$

이 점이 제 1사분면 위에 존재하므로 $\displaystyle 2m-1>0,~2m-3>0$

또한 내분하는 점의 정의에 의해 $\displaystyle m:3-m$으로부터 $\displaystyle m>0,~3-m>0$

이 부등식들을 동시에 만족시키는 $\displaystyle m$의 값의 범위는 $\displaystyle \dfrac23<m<3$Correction. 내분점 $\displaystyle (2m-1,2m-3)$이 제1사분면에 있으려면 $\displaystyle 2m-1>0$과 $\displaystyle 2m-3>0$을 함께 만족해야 한다. 내분 조건 $\displaystyle 0<m<3$과 합치면 올바른 범위는 $\displaystyle \frac32<m<3$이다. 대학 답안의 하한 $\displaystyle \frac23$은 $\displaystyle \frac32$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2) 점 $\displaystyle C$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$로 놓으면

$\displaystyle \overline{AC}^2-\overline{BC}^2=(x+1)^2+(y+3)^2-(x-5)^2-(y-3)^2=12x-24+12y$

$\displaystyle 12x-24+12y=12k$라 하면

$\displaystyle x-2+y=k$ $\displaystyle \cdots$①

점 $\displaystyle C$는 원

$\displaystyle (x-2)^2+y^2=1$ $\displaystyle \cdots$②

위의 점이므로 ①,②에서 $\displaystyle x$를 소거하면 $\displaystyle 2y^2-2ky+k^2-1=0$

이차방정식

$\displaystyle 2y^2-2ky+k^2-1=0$ $\displaystyle \cdots$③

의 판별식 $\displaystyle D$가 $\displaystyle D\ge0$이어야 하므로

$\displaystyle \dfrac D4=k^2-2(k^2-1)=-k^2+2\ge0$이고 $\displaystyle -\sqrt2\le k\le\sqrt2$

따라서 $\displaystyle \overline{AC}^2-\overline{BC}^2=12k$의 범위는 $\displaystyle -12\sqrt2\le\overline{AC}^2-\overline{BC}^2\le12\sqrt2$

$\displaystyle \overline{AC}^2-\overline{BC}^2=12k$의 최솟값은 $\displaystyle k=-\sqrt2$일 때 $\displaystyle -12\sqrt2$

$\displaystyle k=-\sqrt2$를 ③에 대입하면 $\displaystyle (\sqrt2y+1)^2=0$이므로 $\displaystyle y=-\dfrac{\sqrt2}2$

[2] $\displaystyle x=2$를 대입하면 $\displaystyle 2^{10}-1=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}a_k$ $\displaystyle \cdots$①

$\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle -1=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}(-1)^ka_k$ $\displaystyle \cdots$②

①,②를 더하고 2로 나누면 $\displaystyle\sum_{k=0}^5a_{2k}=2^9-1$ $\displaystyle \cdots$③

$\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle a_0=0$ $\displaystyle \cdots$④

$\displaystyle f(x)=x^{10}-1$이라 하면 $\displaystyle f^{\prime\prime}(1)=90=2a_2$이므로 $\displaystyle a_2=45$ $\displaystyle \cdots$⑤

③,④,⑤에 의해 $\displaystyle a_4+a_6+a_8+a_{10}=2^9-1-45=466$

[3] (1) $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle f(1)=1$이면 $\displaystyle f\circ f$는 $\displaystyle A_1=\{1\}$에서의 항등함수이다. 그러므로 $\displaystyle a_1=1$

$\displaystyle n=2$일 때, 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수는 $\displaystyle f(1)=1,f(2)=2$인 경우와 $\displaystyle f(1)=2,f(2)=1$인 경우뿐이다. 그러므로 $\displaystyle a_2=2$

(2) 일대일함수의 정의에서 조건 $\displaystyle p$를 $\displaystyle x_1\ne x_2$, 조건 $\displaystyle q$를 $\displaystyle f(x_1)\ne f(x_2)$라고 명제 $\displaystyle p\to q$의 대우는

$\displaystyle f(x_1)=f(x_2)$이면 $\displaystyle x_1=x_2$

이제 정의역 $\displaystyle A_n$의 임의의 두 원소 $\displaystyle x_1,x_2$에 대하여 $\displaystyle f(x_1)=f(x_2)$라고 하면

$\displaystyle f(f(x_1))=f(f(x_2))$이고

$\displaystyle f\circ f$는 항등함수이므로 $\displaystyle x_1=x_2$. 따라서 조건 $\displaystyle p$를 만족시키는 함수 $\displaystyle f$는 일대일함수이다.

(3) $\displaystyle f$는 $\displaystyle A_n$에서 $\displaystyle A_n$으로의 일대일함수이므로 일대일대응이고 역함수가 존재한다.

$\displaystyle f\circ f=I$ (는 항등함수)로부터 $\displaystyle f=f^{-1}$

$\displaystyle n=3$일 때, $\displaystyle f(1)=1$이면서 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_2$

$\displaystyle f(1)=2$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(2)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_1$

$\displaystyle f(1)=3$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(3)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_1$

따라서 $\displaystyle a_3=a_2+2a_1=4$

$\displaystyle n=4$일 때, $\displaystyle f(1)=1$이면서 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_3$

$\displaystyle f(1)=2$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(2)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_2$

$\displaystyle f(1)=3$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(3)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_2$

$\displaystyle f(1)=4$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(4)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_2$

따라서 $\displaystyle a_4=a_3+3a_2=10$

(4) $\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle f(1)=1$이면 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_{n-1}$

$\displaystyle f(1)=2$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(2)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_{n-2}$

$\displaystyle f(1)=3$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(3)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_{n-2}$

⋯

$\displaystyle f(1)=n$이면 $\displaystyle f=f^{-1}$로부터 $\displaystyle f(n)=1$이어야 하므로 조건 $\displaystyle p$를 만족하는 함수의 개수는 $\displaystyle a_{n-2}$

따라서 $\displaystyle a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$