자연계열 1번

[1]

$\displaystyle 11=x$라고 하자. 자연수 $\displaystyle A=11\times13\times15\times17-9$는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle x(x+2)(x+4)(x+6)-9=(x^2+6x)(x^2+6x+8)-9$

$\displaystyle x^2+6x=t$라고 하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle t(t+8)-9=t^2+8t-9=(t-1)(t+9)=(x^2+6x-1)(x^2+6x+9)=(x^2+6x-1)(x+3)^2~(=186\times14^2)$ ……①

자연수 $\displaystyle B=11^3+5\times11^2+3\times11-9$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle x^3+5x^2+3x-9=(x-1)(x^2+6x+9)=(x-1)(x+3)^2~(=10\times14^2)$ …②

①과 ②로부터 자연수 $\displaystyle N=A+B=(11\times13\times15\times17-9)+(11^3+5\times11^2+3\times11-9)$는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle (x^2+6x-1)(x+3)^2+(x-1)(x+3)^2=(x^2+7x-2)(x+3)^2~(=196\times14^2)$

이제 $\displaystyle x$에 11을 대입하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle (11\times13\times15\times17-9)+(11^3+5\times11^2+3\times11-9)=196\times14^2=2^2\times7^2\times2^2\times7^2=2^4\times7^4$

[2]

(1) 직선 AO의 식은 $\displaystyle y=-3x$, 곧 $\displaystyle 3x+y=0$이다. $\displaystyle c=b^2-7b+12$이므로 점 B$\displaystyle (b,c)$와 직선 $\displaystyle 3x+y=0$ 사이의 거리는 다음과 같다.

$\displaystyle \dfrac{|3b+c|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{|3b+b^2-7b+12|}{\sqrt{10}}=\dfrac{|b^2-4b+12|}{\sqrt{10}}=\dfrac{|(b-2)^2+8|}{\sqrt{10}}$

그런데 $\displaystyle (b-2)^2+8>0$이므로, 찾는 거리는 $\displaystyle \dfrac{(b-2)^2+8}{\sqrt{10}}=\dfrac{b^2-4b+12}{\sqrt{10}}$이다.

(2) $\displaystyle \overline{AO}=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}$이므로, (1)에 의해 삼각형 AOB의 넓이는 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}\triangle\mathrm{AOB}&=\dfrac12\times\overline{AO}\times\{\text{점 B}(b,c)\text{와 직선 }3x+y=0\text{ 사이의 거리}\}\\&=\dfrac12\times\sqrt{10}\times\dfrac{(b-2)^2+8}{\sqrt{10}}=\dfrac{(b-2)^2+8}2=\dfrac12(b-2)^2+4\end{aligned}$

따라서 삼각형 AOB의 넓이의 최솟값은 4이다.

[3]

(1) 분모 $\displaystyle f(x)-g(x)=x^2-kx+3$이 0이 되면 안 되므로, $\displaystyle D=k^2-12<0$이어야 한다.

따라서 조건을 만족시키는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle -2\sqrt3<k<2\sqrt3$이다.

(2) $\displaystyle h(x)=(x^2+4)(kx+1)=kx^3+x^2+4kx+4$이므로 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)=3kx^2+2x+4k>0$이어야 한다.

(i) $\displaystyle k=0$일 때, $\displaystyle h(x)=x^2+4$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=2x$이고 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle h(x)>0$이므로 조건을 만족시킨다.

(ii) $\displaystyle k>0$일 때, $\displaystyle h^{\prime}(x)=3k\left(x+\dfrac1{3k}\right)^2+4k-\dfrac1{3k}$이다. 이차함수 $\displaystyle y=h^{\prime}(x)$의 그래프의 축이 $\displaystyle x=-\dfrac1{3k}<0$이고 $\displaystyle h^{\prime}(0)=4k>0$이므로 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle k>0$은 조건을 만족시킨다.

(iii) $\displaystyle k<0$일 경우, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h^{\prime}(x)<0$이므로 조건을 만족시킬 수 없다.

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 조건을 만족시키는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle k\ge0$이다.

[4]

(1) 타원의 방정식을 $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$이라 하면 장축의 길이 $\displaystyle (=\overline{AB})$가 $\displaystyle 2a=20$이므로 $\displaystyle a=10$이다.

$\displaystyle \overline{AO}=10$이고 $\displaystyle \overline{AS}=2$이므로 $\displaystyle \overline{SO}$의 길이는 8이다. 양수 $\displaystyle c$에 대해 두 초점을 $\displaystyle (c,0)$과 $\displaystyle (-c,0)$이라고 하면 태양이 초점 $\displaystyle (-c,0)$에 있으므로 $\displaystyle c=8$이다. 그러므로 $\displaystyle b^2=a^2-c^2=100-64=36$이다.

따라서 타원의 방정식은 $\displaystyle \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1$이다.

(2) 행성의 좌표 $\displaystyle (x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$를 타원의 방정식에 대입하면Caution. 타원 위의 점을 $\displaystyle x=a\cos t$, $\displaystyle y=b\sin t$로 나타낼 때, $\displaystyle t$가 원점에서 잰 방향각과 같다고 단정해서는 안 된다: 발문과 그림에서 $\displaystyle \theta$는 선분 $\displaystyle \mathrm{OE}$와 $\displaystyle x$축의 양의 방향이 이루는 각이다. 타원 위의 점을 $\displaystyle x=10\cos u$, $\displaystyle y=6\sin u$로 나타내면 제1사분면에서 $\displaystyle \tan\theta=\frac yx=\frac35\tan u$이므로, 매개각 $\displaystyle u$와 방향각 $\displaystyle \theta$는 일반적으로 다르다. 예를 들어 방향각이 $\displaystyle \frac\pi4$이면 매개각은 $\displaystyle 0<u<\frac\pi2$, $\displaystyle \tan u=\frac53$을 만족한다. 따라서 주어진 방향각을 그대로 매개각에 대입한 접점·접선과 넓이 계산에는 이 구분이 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=\dfrac{a^2\cos^2\theta}{100}+\dfrac{b^2\sin^2\theta}{36}=1$이다.

$\displaystyle \theta=0$일 때, $\displaystyle a^2=100$이고 $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a=10$이다.

$\displaystyle \theta=\dfrac\pi2$일 때, $\displaystyle b^2=36$이고 $\displaystyle b>0$이므로 $\displaystyle b=6$이다.

매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하면

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}=-\dfrac{6\cos\theta}{10\sin\theta}=-\dfrac{3\cos\theta}{5\sin\theta}$이다.

따라서 $\displaystyle \theta=\dfrac\pi3$일 때, 타원의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\dfrac{\sqrt3}5(x-5)+3\sqrt3=-\dfrac{\sqrt3}5x+4\sqrt3$이다.

(3) $\displaystyle l(\theta)$는 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}l(\theta)&=\sqrt{(10\cos\theta+8)^2+(6\sin\theta)^2}=\sqrt{64\cos^2\theta+160\cos\theta+100}\\&=\sqrt{(8\cos\theta+10)^2}=|8\cos\theta+10|\end{aligned}$

(4) $\displaystyle \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{36}=1$으로부터 $\displaystyle y=\pm6\sqrt{1-\dfrac{x^2}{100}}$이다. $\displaystyle 0\le\theta\le\dfrac\pi4$이므로 $\displaystyle y=6\sqrt{1-\dfrac{x^2}{100}}$이다.

$\displaystyle x=10\cos\theta,~y=6\sin\theta$로부터 $\displaystyle \theta=0$일 때 E$\displaystyle (10,0)$이고, $\displaystyle \theta=\dfrac\pi4$일 때 E$\displaystyle (5\sqrt2,3\sqrt2)$이다.

H$\displaystyle (5\sqrt2,0)$이라 하고 찾는 넓이를 $\displaystyle T$라고 하면 $\displaystyle T=\int_{5\sqrt2}^{10}6\sqrt{1-\dfrac{x^2}{100}}\,dx+\triangle\mathrm{EOH}$이다.

$\displaystyle x=10\cos\theta$로 치환하면 $\displaystyle \dfrac{dx}{d\theta}=-10\sin\theta$이고 $\displaystyle 6\sqrt{1-\dfrac{x^2}{100}}=6\sqrt{1-\cos^2\theta}=6|\sin\theta|=6\sin\theta~\left(0\le\theta\le\dfrac\pi4\right)$이므로 다음을 얻는다.