자연계열 2번

[1]

(1) 세 실근을 $\displaystyle a-d,~a,~a+d$라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.

$\displaystyle (x-a)(x-a+d)(x-a-d)=(x-a)(x^2-2ax+a^2-d^2)=x^3-3ax^2+(3a^2-d^2)x-a^3+ad^2$

$\displaystyle a-d,~a,~a+d$가 주어진 삼차방정식의 세 실근이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle x^3-9x^2+cx-12=x^3-3ax^2+(3a^2-d^2)x-a^3+ad^2$

그러면 계수비교에 의해 $\displaystyle 9=3 a$이므로, $\displaystyle a=3$이다.

(2) $\displaystyle a=3$이 주어진 방정식의 근이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle 3^{3}-9 \times 3^{2}+3 c-12=0,~ ~ 3 c=-27+81+12=66,~ ~ c=22$

(3) (2)에 의해 $\displaystyle c=22$이므로, 주어진 방정식은 $\displaystyle x^{3}-9 x^{2}+22 x-12=0$이다.

(1)에 의해 $\displaystyle a=3$은 이 방정식의 근이므로, 인수정리에 의해 $\displaystyle x^{3}-9 x^{2}+22 x-12$는 $\displaystyle x-3$에 의해 나누어떨어진다. 실제로 나누거나 조립제법에 의해 $\displaystyle x^{3}-9 x^{2}+22 x-12=(x-3) \left (x^{2}-6 x+4 \right )$를 얻을 수 있다.

이에 따라 $\displaystyle (x-3) \left (x^{2}-6 x+4 \right )=0$이므로, 주어진 방정식의 세 근은 $\displaystyle 3-\sqrt {5},~ 3,~3+\sqrt {5}$이다.

[2]

(1) $\displaystyle \begin{aligned}\dfrac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}&=\dfrac{n+2}{n!\{1+(n+1)+(n+2)(n+1)\}}\\&=\dfrac{n+2}{n!(n^2+4n+4)}=\dfrac{n+2}{n!(n+2)^2}=\dfrac1{n!(n+2)}\\&=\dfrac{n+1}{n!(n+1)(n+2)}=\dfrac{n+1}{(n+2)!}\end{aligned}$

(2) 위의 (1)에 의해 각 자연수 $\displaystyle n$에 대해 다음이 성립한다.

$\displaystyle \dfrac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\dfrac{n+1}{(n+2)!}=\dfrac1{(n+1)!}-\dfrac1{(n+2)!}$

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{2022}\dfrac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}&=\sum_{n=1}^{2022}\left\{\dfrac1{(n+1)!}-\dfrac1{(n+2)!}\right\}\\&=\left(\dfrac1{2!}-\dfrac1{3!}\right)+\left(\dfrac1{3!}-\dfrac1{4!}\right)+\cdots+\left(\dfrac1{2023!}-\dfrac1{2024!}\right)=\dfrac1{2!}-\dfrac1{2024!}=\dfrac12-\dfrac1{2024!}\end{aligned}$

[3]

(1) $\displaystyle h(x)= {\ln } |x|+\frac{1}{\sqrt {x}}$라 하자. 함수 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle 0<x<1$에서 미분가능하고 $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x \sqrt {x}}= \frac{2 \sqrt {x}-1}{2 x \sqrt {x}}$이다. 주어진 구간에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$의 근은 $\displaystyle x=\frac{1}{4}$뿐이다. 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle h \left (\frac{1}{4} \right )=- {\ln } 4+2= {\ln } \frac{e^{2}}{4}>0$이므로, 구간 $\displaystyle 0<x<1$에서 $\displaystyle {\ln } |x|>-\frac{1}{\sqrt {x}}$이다.

(2) (1)의 결과로부터 구간 $\displaystyle (0,~1)$에서 $\displaystyle -1<\sqrt {x} {\ln } |x|<0$이 성립한다.

양변에 $\displaystyle \sqrt x$를 곱하면 $\displaystyle -\sqrt x<x\ln|x|<0$이다. $\displaystyle \lim_{x\to0^+}\sqrt x=0$이므로, 함수의 극한의 대소 관계에 의해 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=0$이다. …… ①

극한 $\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)$에서 $\displaystyle x=-t$로 치환하고 $\displaystyle f(-x)=-kx\ln|-x|=-kx\ln|x|=-f(x)$와 ①을 차례로 이용하면 $\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{t\to0^+}f(-t)=-\lim_{t\to0^+}f(t)=0$이다.

(3) 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$을 제외한 모든 실수 $\displaystyle x$에서 미분가능하며, $\displaystyle f^{\prime}(x)=k( {\ln } |x|+1)$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 근은 $\displaystyle x=± e^{-1}$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

오른쪽에 있는 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 개형과 직선 $\displaystyle y=t$와의 교점을 헤아려보면 함수 $\displaystyle g(t)$는 다음과 같다.

$\displaystyle g(t)=\begin{cases}1&(t<-ke^{-1})\\2&(t=-ke^{-1})\\3&(-ke^{-1}<t<0)\\2&(t=0)\\3&(0<t<ke^{-1})\\2&(t=ke^{-1})\\1&(ke^{-1}<t)\end{cases}$

따라서 함수 $\displaystyle g(t)$의 불연속인 $\displaystyle t$의 값과 그 함숫값 $\displaystyle g(t)$의 순서쌍들은 다음과 같다.

$\displaystyle \left (-k e^{-1},~ 2 \right ),~ ~(0,~2),~ \left (k e^{-1},~ 2 \right )$

(4) 양수 $\displaystyle k$에 대하여 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)=k x {\ln } |x|$은 위 (3)에서 살펴본 바와 같이 구간 $\displaystyle \left (-1 \le x \le -\frac{1}{\sqrt {e}} \right )$에서 $\displaystyle f(x) \ge 0$이다. 또한 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt {e}}} f(x) d x=1$을 만족시켜야 한다. 부분적분법으로 계산하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-1}^{-\frac1{\sqrt e}}f(x)\,dx&=\int_{-1}^{-\frac1{\sqrt e}}kx\ln(-x)\,dx=k\Biggl[\dfrac12x^2\ln(-x)\Biggr]_{-1}^{-\frac1{\sqrt e}}-k\int_{-1}^{-\frac1{\sqrt e}}\dfrac12x\,dx\\&=-\dfrac k{4e}-\dfrac k4\Biggl[x^2\Biggr]_{-1}^{-\frac1{\sqrt e}}=\dfrac k4\left(1-\dfrac2e\right)=\dfrac{k(e-2)}{4e}=1\end{aligned}$

따라서 찾는 값은 $\displaystyle k=\frac{4 e}{e-2}$이다.