자연계열 1번

광운대 2026학년도 수시 1교시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2026su_1/jayeon_1

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 집합 $\displaystyle A$ 가 유한집합일 때, 집합 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수를 기호로

$\displaystyle n(A)$

와 같이 나타낸다. 특히 $\displaystyle n( \varnothing)=0$ 이다.

2. $\displaystyle n$ 이 자연수일 때,

$\displaystyle (a+b)^{n}={}_{n} \mathrm C_{0} a^{n}+{}_{n} \mathrm C_{1} a^{n-1} b+ \cdots +{}_{n} \mathrm C_{r} a^{n-r} b^{r}+ \cdots +{}_{n} \mathrm C_{n} b^{n}$

3. 점 $\displaystyle (a,~ b)$ 를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $\displaystyle (-a,~-b)$

4. 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서

① $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값은 $\displaystyle f(a)$ 이다.

② $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값은 $\displaystyle f(a)$ 이다.

[1] 전체집합 $\displaystyle U= \left\{1,~2,~3,~4,~5,~6 \right\}$ 의 두 부분집합 $\displaystyle A,~ B$ 가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. [10점]

(가) $\displaystyle n(A) \times n(B) \ne 0$

(나) $\displaystyle n(B)<n(U)$

(다) $\displaystyle A \subset B$

[2] 세 점 $\displaystyle {A}(-1,~-1),~ {B}(1,~-1),~ \mathrm C(1,~3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 와 이 삼각형을 원점에 대하여 대칭이동한 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm C '$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이를 구하시오. [6점]

(2) 두 삼각형 중 한 삼각형을 고정하고 다른 삼각형을 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향 또는 음의 방향으로 평행이동할 때, 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값을 구하시오. [14점]

[3] 실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle S(k)=\int_{0}^{1} \left |x^{3}+k \right | d x$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $\displaystyle S(k)$ 를 구하시오. [10점]

(2) 함수 $\displaystyle S(k)$ 가 최소가 되게 하는 $\displaystyle k$ 의 값과 함수 $\displaystyle S(k)$ 의 최솟값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

광운대 2026학년도 수시 1교시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2026su_1/jayeon_1

+2점 · 집합

\displaystyle A

(공집합 제외)와 집합

\displaystyle B

(공집합과 전체집합 제외)의 조건을 구했으면

[1] 조건 (가)와 (나)에 의하여 부분집합 $\displaystyle B$ 는 공집합과 전체집합을 포함하지 않는다. $\displaystyle n(B)=k(1 \le k \le 5)$ 일 때, 가능한 집합 $\displaystyle B$ 의 개수는 $\displaystyle {}_{6} \mathrm C_{k}$ 이고, 그 각각에 대하여 집합 $\displaystyle A$ 의 개수는 조건 (가)와 (다)에 의하여 공집합을 제외한 $\displaystyle 2^{k}-1$

+6점 · 두 집합의 포함관계를 이용하여 각각의 경우의 수를 구했으면 (이항정리를 이용하거나 직접 계산한 경우 모두 인정)

따라서 세 조건을 만족시키는 경우의 수는

$\displaystyle \begin{aligned}{}_6\mathrm C_1\times(2^1-1)&+{}_6\mathrm C_2\times(2^2-1)+\cdots+{}_6\mathrm C_5\times(2^5-1)\\&=({}_6\mathrm C_1\times2^1+{}_6\mathrm C_2\times2^2+\cdots+{}_6\mathrm C_5\times2^5)-({}_6\mathrm C_1+{}_6\mathrm C_2+\cdots+{}_6\mathrm C_5)\end{aligned}$

이항정리를 이용하면,

$\displaystyle \begin{aligned}{}_6\mathrm C_1\times2^1&+{}_6\mathrm C_2\times2^2+\cdots+{}_6\mathrm C_5\times2^5\\&=({}_6\mathrm C_0\times2^0+{}_6\mathrm C_1\times2^1+{}_6\mathrm C_2\times2^2+\cdots+{}_6\mathrm C_5\times2^5+{}_6\mathrm C_6\times2^6)-({}_6\mathrm C_0\times2^0+{}_6\mathrm C_6\times2^6)\\&=(1+2)^6-(1+64)=664\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}{}_6\mathrm C_1+{}_6\mathrm C_2&+\cdots+{}_6\mathrm C_5=({}_6\mathrm C_0+{}_6\mathrm C_1+{}_6\mathrm C_2+\cdots+{}_6\mathrm C_5+{}_6\mathrm C_6)-({}_6\mathrm C_0+{}_6\mathrm C_6)\\&=(1+1)^6-(1+1)=62\end{aligned}$

+2점 · 조건의 경우의 수

\displaystyle 602

를 구했으면

따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 664-62=602$

+4점 · 대칭이동한 세 점을

\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}(1,~1),~ \mathrm{B}^{\prime}(-1,~1),~ \mathrm C '(-1,~-3)

구했으면

[2] (1) 원점을 중심으로 대칭이동한 세 점은 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}(1,~1),~ \mathrm{B}^{\prime}(-1,~1),~ \mathrm C '(-1,~-3)$

+2점 · 겹치는 영역의 넓이

\displaystyle 2

를 구했으면

두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이는 평행사변형의 넓이이므로 $\displaystyle 1 \times 2=2$

+4점 · 두 삼각형을 좌표평면으로 대응하고 평행 이동에 따른 변수를 설정했으면

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 를 고정하고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm C '$ 을 $\displaystyle x$ 축 방향으로 평행 이동하여 영역의 넓이를 구한다.

점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ 의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}(a,~ 1)$ 이라 하면, 두 삼각형이 겹치는 경우는 $\displaystyle 0<a<3$ 이므로

+6점 · 구간에 따라 겹치는 영역을 설정한 변수의 함수로 표현하면 (평행 이동에 따라 변하는 영역의 넓이를 함수로 표현하면 부분 점수 인정)

( $\displaystyle \mathrm{i}$ ) $\displaystyle 0<a \le 1$ 일 때

그림 ( $\displaystyle \mathrm{a}$ )에서 평행사변형의 넓이 $\displaystyle S=a \times 2 \le 2$

( $\displaystyle \mathrm{ii}$ ) $\displaystyle 1<a \le 2$ 일 때

그림 ( $\displaystyle \mathrm{b}$ )에서 겹치는 영역의 넓이 $\displaystyle S$ 는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ 을 대각선 양 끝점으로 하는 평행사변형의 넓이에서 양쪽 모서리 삼각형의 넓이를 뺀 것이므로 $\displaystyle S=(a \times 2)-2 \times \left\{\frac{1}{2} \times (a-1) \times 2 \times (a-1) \right\}=-2 a^{2}+6 a-2$

$\displaystyle S^{\prime}=-4 a+6=0$ 에서 $\displaystyle a=\frac{3}{2}$ , 이때, 최댓값은 $\displaystyle S \left (\frac{3}{2} \right )=-2 \times \left (\frac{3}{2} \right )^{2}+6 \times \left (\frac{3}{2} \right )-2=\frac{5}{2}$

(참고, $\displaystyle S=-2 a^{2}+6 a-2=-2 \left (a-\frac{3}{2} \right )^{2}+\frac{5}{2}$ 에서 $\displaystyle a=\frac{3}{2}$ 일 때 최댓값은 $\displaystyle \frac{5}{2}$ )

( $\displaystyle \mathrm{iii}$ ) $\displaystyle 2<a<3$ 일 때

그림 ( $\displaystyle \mathrm{c}$ )에서 직사각형의 넓이 $\displaystyle S=(3-a) \times 2 \le 2$

(참고, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm C '$ 을 고정하고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 를 평행 이동하여 같은 방법으로 구할 수 있다.)

+4점 · 겹치는 영역의 최대값

\displaystyle \frac{5}{2}

을 구했으면 (도함수 또는 완전제곱 형태 계산 모두 인정)

( $\displaystyle \mathrm{i}$ ), ( $\displaystyle \mathrm{ii}$ ), ( $\displaystyle \mathrm{iii}$ )으로부터 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{5}{2}$

+2점 ·

\displaystyle y=x^{3}+k

의 근

\displaystyle x=-\sqrt[3]{k}

에 따라 함수

\displaystyle S(k)

의 구간을 나누면

[3] (1) $\displaystyle y=x^{3}+k$ 의 $\displaystyle x$ 절편은 $\displaystyle x=\sqrt[3]{-k}=-\sqrt[3]{k}$ 이므로

$\displaystyle x=-\sqrt[3]{k}$ 가 적분구간 $\displaystyle [0,~1]$ 에 속하는 경우와 속하지 않는 경우로 나누어 $\displaystyle S(k)$ 를 구한다.

+6점 · 각 구간의 적분을 계산하여 구간에 따른 함수

\displaystyle S(k)

를 구하면

( $\displaystyle \mathrm{i}$ ) $\displaystyle -\sqrt[3]{k} \le 0$ 에서 $\displaystyle k \ge 0$ 일 때

$\displaystyle S(k)=\int_{0}^{1} \left (x^{3}+k \right ) d x= \Biggl[\frac{1}{4} x^{4}+k x \Biggr]_{0}^{1}=k+\frac{1}{4}$

( $\displaystyle \mathrm{ii}$ ) $\displaystyle 0<-\sqrt[3]{k}<1$ 에서 $\displaystyle -1<k<0$ 일 때

$\displaystyle \begin{aligned}S(k)&=\int_0^{-\sqrt[3]k}(-x^3-k)dx+\int_{-\sqrt[3]k}^1(x^3+k)dx\\&=\Biggl[-\dfrac14x^4-kx\Biggr]_0^{-\sqrt[3]k}+\Biggl[\dfrac14x^4+kx\Biggr]_{-\sqrt[3]k}^1\\&=\dfrac32k\sqrt[3]k+k+\dfrac14\end{aligned}$

( $\displaystyle \mathrm{iii}$ ) $\displaystyle -\sqrt[3]{k} \ge 1$ 에서 $\displaystyle k \le -1$ 일 때

$\displaystyle ~~ S(k)=\int_{0}^{1} \left (-x^{3}-k \right ) d x= \Biggl[-\frac{1}{4} x^{4}-k x \Biggr]_{0}^{1}=-k-\frac{1}{4}$

+2점 · 전체 구간에 대한 함수

\displaystyle S(k)

를 구하면

따라서 $\displaystyle S(k)=\begin{cases}-k-\dfrac14&(k\le-1)\\\dfrac32k\sqrt[3]k+k+\dfrac14&(-1<k<0)\\k+\dfrac14&(k\ge0)\end{cases}$

+4점 · 구간을 나눠 각 구간의 최솟값을 구하면

+4점 ·

\displaystyle -1<k<0

일 때, 최솟값

\displaystyle \frac{7}{32}

을 구하면

(2) 각 구간에서 $\displaystyle S(k)$ 의 최솟값을 구하면,

( $\displaystyle \mathrm{i}$ ) $\displaystyle k \le -1$ 일 때 $\displaystyle S(k)=-k-\frac{1}{4} \ge \frac{3}{4}$

( $\displaystyle \mathrm{ii}$ ) $\displaystyle -1<k<0$ 일 때

$\displaystyle S(k)=\frac{3}{2} k \sqrt[3]{k}+k+\frac{1}{4}$ 이므로 $\displaystyle S^{\prime} (k) = 2 \sqrt[3]{ k } +1 =0$ 에서 $\displaystyle k = - \frac{1}{8}$ 이고,

$\displaystyle k = - \frac{1}{8}$ 의 좌우에서 $\displaystyle S^{\prime}(k)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로

$\displaystyle k = - \frac{1}{8}$ 에서 극소이고 최솟값은 $\displaystyle \frac{7}{32}$

(참고, $\displaystyle S^{\prime\prime} (k) = \frac{2}{ 3 \sqrt[3]{k^2} }$ 에서 $\displaystyle S^{\prime\prime} \left ( - \frac{1}{8} \right ) = \frac{1}{6} > 0$ 이므로 극소)Correction. $\displaystyle S^{\prime\prime}(k)=2/(3\sqrt[3]{k^2})$ 에 $\displaystyle k=-1/8$ 을 대입하면 $\displaystyle S^{\prime\prime}(-1/8)=2/(3/4)=8/3$ 이므로, 대학 답안의 $\displaystyle 1/6$ 은 잘못 계산한 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

( $\displaystyle \mathrm{iii}$ ) $\displaystyle k \ge 0$ 일 때

$\displaystyle S(k)=k+\frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$

+2점 · 함수

\displaystyle S(k)

가 최소가 되는

\displaystyle k=-\frac{1}{8}

과 최솟값

\displaystyle \frac{7}{32}

을 구하면

( $\displaystyle \mathrm{i}$ ), ( $\displaystyle \mathrm{ii}$ ), ( $\displaystyle \mathrm{iii}$ )으로부터 $\displaystyle k=-\frac{1}{8}$ 일 때 $\displaystyle S(k)$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{7}{32}$

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.