자연계열 2번

[1]

(1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{{PQ}}^{2}=\overline{{OP}}^{2}+\overline{{OQ}}^{2}-2 \times \overline{{OP}} \times \overline{{OQ}} \times \cos (\angle {POQ})$이고 $\displaystyle \overline{{OP}}=\overline{{OQ}}=1,~ \angle {POQ}=\alpha -\beta$이므로 $\displaystyle \overline{{PQ}}^{2}=1+1-2 \times 1 \times 1 \times \cos (\alpha -\beta )=2-2 \cos (\alpha -\beta )$이다. 또, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식에 의하여

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{PQ}}^2&=(\cos\beta-\cos\alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2\\&=2-2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\end{aligned}$이므로

$\displaystyle 2-2 \cos (\alpha -\beta )=2-2( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta )$이다. 이 식을 정리하면

$\displaystyle \cos (\alpha -\beta )= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$가 성립한다. ⋯⋯①

①에 $\displaystyle \beta$대신 $\displaystyle -\beta$를 대입하여 정리하면 $\displaystyle \cos (\alpha +\beta )= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

(2) $\displaystyle \begin{aligned}(\cos x)^{\prime}&=\lim_{h\to0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}h=\lim_{h\to0}\dfrac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}h\\&=\cos x\times\lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}h-\sin x\times\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}h\end{aligned}$

제시문에서 $\displaystyle \lim _{h \to 0} \frac{ \sin h}{h}=1$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \lim _{h \to 0} \frac{ \cos h-1}{h}=\lim _{h \to 0} \frac{ \cos ^{2} h-1}{h( \cos h+1)}=-\lim _{h \to 0} \frac{ \sin ^{2} h}{h^{2}} \times \lim _{h \to 0} \frac{h}{( \cos h+1)}=0$

따라서 $\displaystyle ( \cos x)^{\prime}=- \sin x$

[2]

$\displaystyle z=(1+i)^{2025}+a(i-1)^{2026}=(1+i)^{2025}+a(1-i)^{2026}$

$\displaystyle 1+i=\alpha ,~ 1-i=\beta$라고 하면 $\displaystyle \alpha ,~ \beta$는 $\displaystyle x^{2}-2 x+2=0$의 두 근이다.

$\displaystyle x^{4}=x^{2 \times 2}=(2 x-2)^{2}=2^{2} \left (x^{2}-2 x+1 \right )=-2^{2}$, $\displaystyle x^{8}=2^{4}$이므로 다음을 얻는다.

(참고. $\displaystyle (1+i)^{8}=(i-1)^{8}=2^{4}$을 직접 계산해도 됨.)

$\displaystyle (1+i)^{2025}=\alpha ^{8 \times 253+1}=2^{1012} \alpha =2^{1012}(1+i)$, $\displaystyle (1-i)^{2026}=\beta ^{8 \times 253+2}=2^{1012} \beta ^{2}=2^{1012}(-2 i)$

이로부터 $\displaystyle z=2^{1012}(1+i-2 a i)$

$\displaystyle z$가 실수가 되게 하는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac{1}{2}$이며 그때 $\displaystyle z=2^{1012}=2^{2^{2} \times 11 \times 23}$

$\displaystyle \log _{b} 2^{2^{2} \times 11 \times 23}=p$라 놓으면 $\displaystyle \log _{b} z= \log _{b} 2^{2^{2} \times 11 \times 23}=p ~ ~\Leftrightarrow ~ ~ b=2^{\frac{2^{2} \times 11 \times 23}{p}}$

$\displaystyle b$가 자연수이면서 $\displaystyle p$도 자연수가 되려면 $\displaystyle p$는 $\displaystyle 2^{2} \times 11 \times 23(=1012)$의 약수이면 된다.

$\displaystyle b$의 개수는 $\displaystyle 2^{2} \times 11 \times 23(=1012)$의 약수의 개수와 같다.

(참고. $\displaystyle 2^2$의 약수: $\displaystyle 1,2,2^2$, $\displaystyle 11$의 약수: $\displaystyle 1,11$, $\displaystyle 23$의 약수: $\displaystyle 1,23$을 이용하여 약수의 개수를 구한다.)

$\displaystyle 2^{2} \times 11 \times 23(=1012)$의 약수의 개수는 $\displaystyle 3 \times 2 \times 2=12$개

따라서 $\displaystyle b$의 개수는 $\displaystyle 3 \times 2 \times 2=12$개

[3]

(1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이 $\displaystyle =\frac{1}{2} \times \overline{{OP}} \times$(점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 와 직선 $\displaystyle y=a x$와의 거리) ⋯⋯①

$\displaystyle \overline{{OP}}$는 오른쪽 그림과 같이 점과 직선과의 거리 공식과 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있다. 원의 중심 $\displaystyle (1,~-1)$과 직선 $\displaystyle y=a x$와의 거리는 $\displaystyle \frac{|a+1|}{\sqrt {a^{2}+1}}$이므로

$\displaystyle \overline{{OP}}=2 \sqrt {2-\frac{(a+1)^{2}}{a^{2}+1}}=\frac{2|a-1|}{\sqrt {a^{2}+1}}$ ⋯⋯②

(참고. 직선 $\displaystyle y=a x$와 원 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2$의 교점을 구하여 $\displaystyle \overline{{OP}}$의 거리를 구해도 됨)

점 $\displaystyle {Q} \left (-\frac{1}{2},~ \frac{7}{2} \right )$와 직선 $\displaystyle y=a x$와의 거리는 $\displaystyle \frac{|a+7|}{2 \sqrt {a^{2}+1}}$ ⋯⋯③

②와 ③을 ①에 대입하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이, 즉 $\displaystyle f(a)$를 얻는다.

$\displaystyle f(a)=\dfrac{|(a-1)(a+7)|}{2(a^2+1)}$ (단, $\displaystyle a\ne1,-7$)

(2) $\displaystyle g(a)=\frac{(a-1)(a+7)}{2 \left (a^{2}+1 \right )}$라고 하자.

$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(a)&=\dfrac{(2a+6)(a^2+1)-(a^2+6a-7)2a}{2(a^2+1)^2}=\dfrac{-(3a^2-8a-3)}{(a^2+1)^2}\\&=\dfrac{-(3a+1)(a-3)}{(a^2+1)^2}\end{aligned}$

$\displaystyle f(a)=|g(a)|$이므로

$\displaystyle a= - \frac{1}{3}$에서 $\displaystyle g(a)$는 극소이며 $\displaystyle f(a)$는 극대이고 극댓값은 $\displaystyle 4$

$\displaystyle a=3$에서 $\displaystyle g(a)$와 $\displaystyle f(a)$는 극대이고 극댓값은 $\displaystyle 1$

함수 $\displaystyle f(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

(참고. $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 개형은 아래와 같다.)