자연계열 1번

그림과 같이 속이 꽉 찬 어떤 물체에 실을 매달아 물이 가득 찬 용기 위에 위치를 잡고, 시각 $\displaystyle t$에 대해 $\displaystyle 2t\,\mathrm{cm}$/초의 속력으로 용기의 수면과 수직인 방향으로 물체를 아래로 움직인다.

$\displaystyle t=0$일 때 물체의 아랫부분과 수면 사이의 최단 거리가 $\displaystyle 1\,\mathrm{cm}$이고, 물체의 높이는 $\displaystyle 8\,\mathrm{cm}$이며, 물체가 수면에 닿기 시작한 시각 $\displaystyle t=a$부터 완전히 물에 잠긴 시각 $\displaystyle t=b$까지 용기로부터 넘쳐흐른 물의 부피는$\displaystyle V(t)=-(5t^2-16t-4)(t-1)^4\,\mathrm{cm}^3\quad(a\le t\le b)$로 주어진다.

(단, 시각의 단위는 초이며, 물체는 처음 실에 매달린 형태 그대로 수면과 수직인 방향으로만 움직인다고 가정한다.)