자연계열 3번

(가) 벡터의 실수배와 덧셈을 이용하면, 곱셈이 정의되는 두 행렬 $\displaystyle A,B$의 곱 $\displaystyle AB$를 벡터의 연산을 이용하여 이해할 수 있다.

우선, 행의 개수가 $\displaystyle 1$인 행렬을 행벡터라 할 때, $\displaystyle n\times m$행렬은 $\displaystyle n$개의 행벡터를 위에서 아래로 나열해 놓은 것으로 생각할 수 있다. 즉, 행렬 $\displaystyle C$의 $\displaystyle (i,j)$성분을 $\displaystyle c_{ij}$라 할 때, 행렬 $\displaystyle C$의 제 $\displaystyle i$행을 행벡터로 생각한 것을 $\displaystyle C[i]$로 나타내면, $\displaystyle C[i]=(c_{i1},c_{i2},\cdots,c_{im})$이다.

이제, 벡터의 연산을 이용하여 행렬의 곱셈을 이해하는 방법을 알아보기 위해, 아래와 같이 $\displaystyle 3\times2$행렬 $\displaystyle A$와 $\displaystyle 2\times2$행렬 $\displaystyle B$의 곱 $\displaystyle AB$를 살펴보자.$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&3\\-1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2a+3c&-2b+3d\\-a+c&-b+d\\a&b\end{pmatrix}$

행렬 $\displaystyle A$의 $\displaystyle (i,j)$성분을 $\displaystyle a_{ij}$라 할 때, 행렬 $\displaystyle AB$의 제 $\displaystyle 1$행에 대응되는 행벡터는$\displaystyle (AB)[1]=(-2a+3c,-2b+3d)=-2(a,b)+3(c,d)=a_{11}B[1]+a_{12}B[2]$이고, $\displaystyle AB$의 나머지 행도 같은 방법으로 벡터의 연산을 이용하여 얻을 수 있다.

일반적으로 $\displaystyle (i,k)$성분이 $\displaystyle a_{ik}$인 $\displaystyle n\times r$행렬 $\displaystyle A$와 $\displaystyle r\times m$행렬 $\displaystyle B$의 곱 $\displaystyle AB$의 $\displaystyle i$행은$\displaystyle a_{i1}B[1]+a_{i2}B[2]+\cdots+a_{ir}B[r]$와 같이 행렬 $\displaystyle A$의 $\displaystyle i$행의 각 성분과 행렬 $\displaystyle B$의 각 행에 대응되는 행벡터를 이용하여 구할 수 있다.

(나) $\displaystyle 2\times2$행렬 $\displaystyle A$에 대하여 $\displaystyle AB=E$와 $\displaystyle BA=E$를 동시에 만족하는 행렬 $\displaystyle B$가 존재할 때, $\displaystyle B$를 $\displaystyle A$의 역행렬이라고 한다. (단, $\displaystyle E$는 $\displaystyle 2\times2$단위행렬)