수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

세종대 2016학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2016mo/jayeon_1

이전 문제
배점30점
예상 소요 시간미공개

문제

[문제 1] 좌표공간에서 집합 A\displaystyle A는 반지름이 2\displaystyle 2이고 중심의 좌표가 (0,0,3)\displaystyle (0,0,\sqrt3)인 구이다. 집합 B\displaystyle B는 원기둥이며 B\displaystyle B의 밑면과 윗면은 중심이 각각 (0,0,0)\displaystyle (0,0,0), (0,0,23)\displaystyle (0,0,2\sqrt3)이고 반지름이 3\displaystyle \sqrt3인 원이다. 다음 그림을 참고하여 각각의 물음에 답하시오.

구 A와 원기둥 B의 공통 영역

(1-1) 구 A\displaystyle A와 원기둥 B\displaystyle B의 윗면의 교집합으로 나타나는 원의 반지름을 r\displaystyle r라 하자. 또한 구 A\displaystyle A와 원기둥 B\displaystyle B의 옆면에 공통으로 속하는 점에 대한 z\displaystyle z좌표의 최댓값을 a\displaystyle a라 하자. r\displaystyle r와 a\displaystyle a의 값을 각각 구하시오. (10점)

(1-2) a≤k≤23\displaystyle a\le k\le2\sqrt3일 때 평면 z=k\displaystyle z=k가 구 A\displaystyle A와 만나 이루어지는 원의 넓이를 S(k)\displaystyle S(k)라 하자. S(k)\displaystyle S(k)를 구하시오. (10점)

(1-3) 구 A\displaystyle A의 내부와 원기둥 B\displaystyle B의 내부에 공통으로 속하는 영역의 부피를 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

세종대 2016학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2016mo/jayeon_1

+5점 · r\displaystyle r

(1-1) 구 S\displaystyle S의 방정식 x2+y2+(z−3)2=4\displaystyle x^2+y^2+(z-\sqrt3)^2=4에 z=23\displaystyle z=2\sqrt3을 대입하면 원의 방정식 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1을 얻는다. 따라서 r=1\displaystyle r=1이다.

또한 주어진 구와 원기둥을 평면 x=0\displaystyle x=0으로 자른 단면을 생각하면 그림 1을 얻는다.

구와 원기둥의 yz평면 단면
그림 1: 구와 원기둥을 평면 x=0\displaystyle x=0으로 자른 단면
+5점 · a\displaystyle a

y=3\displaystyle y=\sqrt3을 원의 방정식 y2+(z−3)2=4\displaystyle y^2+(z-\sqrt3)^2=4에 대입하여 z\displaystyle z를 구하면z=3+1=a\displaystyle z=\sqrt3+1=a이다.

참고로 b=3−1\displaystyle b=\sqrt3-1임을 같은 방법으로 알 수 있다.

5점 · 구의 방정식에서 y2=4−(k−3)2\displaystyle y^2=4-(k-\sqrt3)^2임을 구하면
10점 · S(k)\displaystyle S(k)를 완벽히 구하면

(1-2) 3+1≤k≤23\displaystyle \sqrt3+1\le k\le2\sqrt3일 때 평면 z=k\displaystyle z=k가 구 A\displaystyle A와 만나 이루어지는 원의 반지름은 그림 1에서 점 (0,k)\displaystyle (0,k)와 원 위의 점 (y,k)\displaystyle (y,k) 사이의 거리이므로 다음을 얻는다.S(k)=πy2=π{4−(k−3)2}=π(1+23k−k2)\displaystyle S(k)=\pi y^2=\pi\{4-(k-\sqrt3)^2\}=\pi(1+2\sqrt3k-k^2)

+2점 · 원기둥의 부피

(1-3) 3−1≤z≤3+1\displaystyle \sqrt3-1\le z\le\sqrt3+1인 부분의 원기둥의 부피는 6π\displaystyle 6\pi이고,

+8점 · 나머지 부분

대칭성과 S(k)\displaystyle S(k)의 식을 이용하여 공통 영역의 부피 V\displaystyle V를 계산하면 다음과 같다.V=6π+2∫3+123S(z)dz=6π+∫3+123π{4−(z−3)2}dz=(33−73)π\displaystyle V=6\pi+2\int_{\sqrt3+1}^{2\sqrt3}S(z)dz=6\pi+\int_{\sqrt3+1}^{2\sqrt3}\pi\{4-(z-\sqrt3)^2\}dz=\left(3\sqrt3-\frac73\right)\pi

Correction. 첫 부피식의 계수 2\displaystyle 2가 다음 줄에서 빠졌고, 적분값 계산에도 오기가 있다. 올바른 부피는 (63−43)π\displaystyle \left(6\sqrt3-\frac43\right)\pi이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.