자연계열 3번

(3-3) 실의 길이를 최소가 되도록 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 실로 연결하는 경우, 이 실을 포함하는 평면 위로 내린 구 $\displaystyle S$와 실의 정사영은 그림 4가 된다. (점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 연결하는 실은 초록색으로 표시된 부분이다.)

또한 $\displaystyle \angle\mathrm{ABE}=\frac\pi3$이므로$\displaystyle d(\mathrm{C,E})=\angle\mathrm{CBE}=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3$이다.

(3-4) 점 $\displaystyle \mathrm{D}\left(x,y,\frac32\right)$를 구 $\displaystyle S$의 방정식에 대입하면$\displaystyle (x-1)^2+(y-1)^2+\frac14=1$이 되는데, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$가 평면 $\displaystyle x=y$ 위에 위치할 때 $\displaystyle d(\mathrm{A,D})$가 최소가 됨을 알 수 있고, 이 때 $\displaystyle x=y=1+\frac{\sqrt6}4$이며, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle \left(1+\frac{\sqrt6}4,1+\frac{\sqrt6}4,\frac32\right)$이다.

이제 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(-\frac12,-\frac12,\frac{\sqrt2}2\right)$가 $\displaystyle xy$평면과 이루는 각을 $\displaystyle \theta_1$이라하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BC}}$의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영인 $\displaystyle \vec u=\left(-\frac12,-\frac12,0\right)$을 이용하면$\displaystyle \cos\theta_1=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot\vec u}{|\overrightarrow{\mathrm{BC}}||\vec u|}=\frac{\sqrt2}2$에서 $\displaystyle \theta_1=\frac\pi4$이다.

이제 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\left(\frac{\sqrt6}4,\frac{\sqrt6}4,\frac12\right)$이 $\displaystyle xy$평면과 이루는 각을 $\displaystyle \theta_2$라 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BD}}$의 $\displaystyle xy$평면 위로의 정사영인 $\displaystyle \vec v=\left(\frac{\sqrt6}4,\frac{\sqrt6}4,0\right)$을 이용하면$\displaystyle \cos\theta_2=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BD}}\cdot\vec v}{|\overrightarrow{\mathrm{BD}}||\vec v|}=\frac{\sqrt3}2$에서 $\displaystyle \theta_2=\frac\pi6$이다.