자연계열 A 1번

(1-1) 바구니에 들어간 사과, 배, 감의 수를 각각 $\displaystyle a,b,c$라 하면, 사과, 배, 감이 각각 적어도 $\displaystyle 2$개씩, 모두 $\displaystyle 9$개가 되도록 바구니를 구성하는 방법의 수는 다음 방정식을 만족하는 정수해의 개수와 같다.$\displaystyle a+b+c=9$ (단, $\displaystyle a\ge2$, $\displaystyle b\ge2$, $\displaystyle c\ge2$)

이 방정식을 만족하는 정수해의 개수는 $\displaystyle x+y+z=3$을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 $\displaystyle {}_3\mathrm H_3={}_5\mathrm C_3={}_5\mathrm C_2=10$가지이다.

가능한 $\displaystyle 10$가지의 과일바구니 중 중복을 허용하여 $\displaystyle 4$개를 고르는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm H_4={}_{13}\mathrm C_4=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{4\cdot3\cdot2}=13\cdot11\cdot5=715$이다.

(1-2) 사과 1개의 무게를 확률변수 $\displaystyle X$라 하면 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(250,225)$을 따르고, 사과 $\displaystyle n$개의 표본평균 $\displaystyle \overline X_n$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N\left(250,\frac{225}n\right)$을 따른다.

따라서 $\displaystyle \mathrm P(\overline X_9\le240)=\mathrm P(\overline X_{16}\le a)$를 만족하는 $\displaystyle a$를 구하면 된다.

$\displaystyle \mathrm P(\overline X_9\le240)=\mathrm P\left(Z\le\frac{240-250}{15/3}\right)=\mathrm P(Z\le-2)$이고 $\displaystyle \mathrm P(\overline X_{16}\le a)=\mathrm P\left(Z\le\frac{a-250}{15/4}\right)$이므로 $\displaystyle a=242.5$이다. 따라서 $\displaystyle 16$개 사과 포장의 평균이 $\displaystyle 242.5$g 이하일 때 재포장을 해야 한다.

(1-3) $\displaystyle A=0.9^9$라 하자. 포장된 사과 중 상한 사과의 수를 $\displaystyle X$라 하면 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B(9,0.1)$을 따르고, 환불할 확률은

$\displaystyle \mathrm P(X\ge3)=1-\mathrm P(X\le2)=1-0.9^9-{}_9\mathrm C_1\times0.9^8\times0.1-{}_9\mathrm C_2\times0.9^7\times0.1^2=1-\frac{22}9A$이다.

확률변수 $\displaystyle Y$를 사과 한 상자 판매할 때의 수익이라고 하면 $\displaystyle Y$의 확률분포표는 다음과 같다.

그러므로 $\displaystyle \mathrm E(Y)=-5400\times\left(1-\frac{22}9A\right)+3600\times\frac{22}9A=-5400+22000A$이다.따라서 $\displaystyle a=22000$이고 $\displaystyle b=-5400$이다.Comment. 대학 답안은 계산 과정에서 얻은 $\displaystyle a=22000$, $\displaystyle b=-5400$을 제시한다. 다만 $\displaystyle 0.9^9=\frac{387420489}{10^9}$이므로, 정수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a=22000+10^9k$, $\displaystyle b=-5400-387420489k$도 같은 예상 수익을 나타낸다. 따라서 정수라는 조건만으로는 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$가 유일하게 정해지지 않는다.