자연계열 A 2번

(2-1) $\displaystyle \int_0^t\sqrt{1+f\prime(x)^2}\,dx=\int_0^tf(x)\,dx$가 성립하므로

미분하면 모든 실수 $\displaystyle t\ge0$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{1+f\prime(t)^2}=f(t)$가 성립한다.

따라서 $\displaystyle t=0$을 대입하면 $\displaystyle f\prime(0)=0$이다.

(2-2) $\displaystyle \sqrt{1+f\prime(t)^2}=f(t)$에서 $\displaystyle 1+f\prime(t)^2=f(t)^2$이다.미분하면 $\displaystyle 2f\prime(t)f\prime\prime(t)=2f(t)f\prime(t)$이고

$\displaystyle f\prime(t)>0$이므로 $\displaystyle f\prime\prime(t)=f(t)$이다.

그러므로 $\displaystyle g\prime(x)=f\prime(x)+f\prime\prime(x)=f\prime(x)+f(x)=g(x)$이다.

조건 (나)에 의해 $\displaystyle g(x)>0$이므로 $\displaystyle \frac{g\prime(x)}{g(x)}=1$이고, 양변을 적분하면 $\displaystyle \ln g(x)=x+c$이다.조건 (가)와 (2-1)의 결과로부터 $\displaystyle g(0)=f(0)+f\prime(0)=1$이므로 $\displaystyle c=0$이다. 그러므로 $\displaystyle g(x)=e^x$이다.

(2-3) $\displaystyle 1=f(x)^2-f\prime(x)^2=(f(x)+f\prime(x))(f(x)-f\prime(x))$이므로 $\displaystyle f(x)-f\prime(x)=\frac1{g(x)}=e^{-x}$이다.

한편, (2-2)에 의해 $\displaystyle g(x)=f(x)+f\prime(x)=e^x$이므로 앞의 식과 연립하여 풀면$\displaystyle f(x)=\frac12(e^x+e^{-x})$이다.