자연계열 1-1번

[1.1] $\displaystyle x,y,z$를 각각 뚜껑이 없는 상자의 길이(가로), 폭(세로), 높이라고 하자.그러면 $\displaystyle 75=xy+2xz+2yz$이고, 제시문 (가)의 부등식으로부터$\displaystyle \frac{75}3=\frac{xy+2xz+2yz}3\geq\sqrt[3]{4x^2y^2z^2}$이 성립한다. 양변을 세제곱을 하고, 이 상자의 부피를 $\displaystyle V$라고 할 때$\displaystyle 25^3=\left(\frac{xy+2xz+2yz}3\right)^3\geq4x^2y^2z^2=4V^2$이므로 $\displaystyle V^2\leq\frac{25^3}4$, $\displaystyle V\leq\frac12 25^{\frac32}=\frac{125}2$가 성립한다. 따라서 $\displaystyle V$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{125}2$이다.