자연계열 1-3번

[1.3] 직원뿔 밑면의 반지름을 $\displaystyle r$, 높이를 $\displaystyle x$라고 하자. 그러면

$\displaystyle \frac12rx=\frac12\cdot1\cdot r+\frac12\cdot1\cdot\sqrt{x^2+r^2}=\frac12(r+\sqrt{x^2+r^2})$$\displaystyle rx=r+\sqrt{x^2+r^2},\quad r(x-1)=\sqrt{x^2+r^2}$이므로,양변을 제곱하여 정리하면 $\displaystyle r^2=\frac x{x-2}$ ($\displaystyle x>2$)$\displaystyle \begin{aligned}S&=\pi r\sqrt{x^2+r^2}\quad(\text{직원뿔의 겉넓이})\\&=\pi\sqrt{\frac x{x-2}}\sqrt{x^2+\frac x{x-2}}=\frac{\pi x(x-1)}{x-2}\quad(x>2)\end{aligned}$$\displaystyle S^{\prime}=\frac{\pi(x^2-4x+2)}{(x-2)^2},\quad x^2-4x+2=0\quad\therefore x=2+\sqrt2\ (\because x>2)$$\displaystyle S$는 구간 $\displaystyle (2,2+\sqrt2)$에서 감소하고, 구간 $\displaystyle (2+\sqrt2,\infty)$에서 증가한다.그러므로 $\displaystyle S$는 $\displaystyle x=2+\sqrt2$일 때, 최솟값 $\displaystyle (3+2\sqrt2)\pi$을 갖는다.따라서 $\displaystyle x=2+\sqrt2$이다.