자연계열 1-2번

(나) 좌표공간의 임의의 두 점 $\displaystyle P(x_1,x_2,x_3)$, $\displaystyle Q(y_1,y_2,y_3)$의 위치벡터를 각각 $\displaystyle \vec p,\vec q$라고 하고 $\displaystyle \vec p$와 $\displaystyle \vec q$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라고 하면, $\displaystyle \vec p$와 $\displaystyle \vec q$의 내적은 $\displaystyle \vec p\cdot\vec q=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ 또는 $\displaystyle \vec p\cdot\vec q=|\vec p||\vec q|\cos\theta$이다. $\displaystyle |\vec p|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$, $\displaystyle |\vec q|^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2$이므로$\displaystyle \begin{aligned}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)&=|\vec p|^2|\vec q|^2\\&\geq(|\vec p||\vec q|\cos\theta)^2\\&=(\vec p\cdot\vec q)^2\\&=(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2\end{aligned}$이다. 즉, 부등식$\displaystyle (x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2\qquad(2)$이 성립함을 알 수 있다. 등호는 $\displaystyle \frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}$일 때 성립한다.