자연계열 3번

[3.1] 배가 북쪽으로 가장 멀리 도달할 때 $\displaystyle \vec v(t)=0$는 이어야 한다. 따라서 $\displaystyle 8-2t=0$이 성립해야하며, 이 방정식을 풀면 $\displaystyle t=4$이다. (답: $\displaystyle t=4$)

[3.2] $\displaystyle \vec v(t)=v(t)\vec e_2$라 하자. 강둑의 수직 방향 위치를 $\displaystyle y=0$이라고 하면, 배가 북쪽으로 가장 멀리 도달할 때 배의 위치 $\displaystyle y$는 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle y=\int_0^4v(t)\,dt=\int_0^22t\,dt+\int_2^4(8-2t)\,dt$위 식에서 적분을 하면, $\displaystyle 4+8\times(4-2)-(4^2-2^2)=8$이다. (답: $\displaystyle 8$)

[3.3] 배가 북쪽으로 가장 멀리 도달한 후 다시 강둑으로 향한다. $\displaystyle t=4$일 때 $\displaystyle y=8$이며, 강둑을 향하여 움직인 후 $\displaystyle t=t_f$에서 $\displaystyle y=0$이 되어야 한다. $\displaystyle t=4$부터 $\displaystyle t=t_f$까지 $\displaystyle v(t)=8-2t$이므로,$\displaystyle y=8+\int_4^{t_f}(8-2t)\,dt=0$이 된다.위 식으로부터 2차 방정식 $\displaystyle t_f^2-8t_f+8=0$을 얻는다. 이 방정식을 풀었을 때, 얻을 수 있는 해 중 적절한 해는 $\displaystyle t_f=4+2\sqrt2$이다.한편, 시간 $\displaystyle t_f$동안 배는 동쪽 방향으로 $\displaystyle u(t)=1t$의 속력으로 움직인다. 동쪽 방향의 이동거리를 $\displaystyle x$라 하면, $\displaystyle x=\int_0^{t_f}u(t)\,dt=\int_0^{4+2\sqrt2}1t\,dt=\frac12(4+2\sqrt2)^2=12+8\sqrt2$이다. (답: $\displaystyle 12+8\sqrt2$)

[3.4] 출발 후 $\displaystyle t=6$일 때 배의 북쪽 방향의 위치 $\displaystyle y$는$\displaystyle y=\int_0^6v(t)\,dt=\int_0^22t\,dt+\int_2^6(8-2t)\,dt$로 주어진다.위 식에서 적분을 하면 $\displaystyle y=4$가 된다. 따라서 $\displaystyle t=6$이후에는 남쪽으로 $\displaystyle 8-4=4$만큼 더 이동한 후 $\displaystyle v(t)=0$이 되어야 한다.$\displaystyle y$축 방향으로의 위치 변화 $\displaystyle \Delta y$는$\displaystyle \Delta y=-4=\int_6^{t_f}(-4+c(t-6))\,dt$로 주어지며, 적분을 하면 다음과 같다.$\displaystyle -4=(-4-6c)(t_f-6)+\frac c2(t_f^2-36)\qquad(1)$한편 $\displaystyle v(t_f)=0$이어야 하므로,$\displaystyle -4+c(t_f-6)=0\text{로부터 }c=\frac4{t_f-6}\qquad(2)$식 (2)를 식 (1)에 대입하면 이차방정식 $\displaystyle t_f^2-14t_f+48=0$을 얻는다.위 이차방정식을 풀었을 때 얻을 수 있는 해 중 적절한 해는 $\displaystyle t_f=8$이다.$\displaystyle t_f=8$을 식 (2)에 대입하면 $\displaystyle c=2$이다. (답: $\displaystyle 2$)