수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

서울과학기술대 2019학년도 수시 오후 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2019su_pm/jayeon_1

이전 문제
배점미공개
예상 소요 시간미공개

문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 연속함수이고 0\displaystyle 0이 아닌 모든 실수 x\displaystyle x에 대해 f(x)\displaystyle f(x)의 도함수는 g(x)\displaystyle g(x)이다. 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 아래 그림처럼 주어지며 도형 A와 B의 넓이는 같다. m\displaystyle m과 n\displaystyle n은 100\displaystyle 100보다 작은 서로 다른 자연수이고 a\displaystyle a는 양의 실수이다. x≤−10a\displaystyle x\leq-10a, x≥m\displaystyle x\geq m일 때 g(x)=0\displaystyle g(x)=0이다.Caution. 구간별로 다르게 정의된 함수에 주의해야 한다: 구간별 정의가 바뀌는 x=−10a\displaystyle x=-10a도 확인해야 한다. 문제의 조건 a>0\displaystyle a>0, n>0\displaystyle n>0에서 이 점의 좌미분계수는 0\displaystyle 0, 우미분계수는 −na\displaystyle -\frac na이므로 서로 다르다. 따라서 x=0\displaystyle x=0뿐 아니라 x=−10a\displaystyle x=-10a에서도 미분가능하지 않으며, 제시문의 예외에 이 점이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

음의 직사각형 A와 양의 삼각형 B의 넓이가 같은 도함수 g의 그래프

(나) 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 연속함수이고 0\displaystyle 0이 아닌 모든 실수 x\displaystyle x에 대해 h′(x)=−f(x)\displaystyle h^{\prime}(x)=-f(x)이다.

[1.1] m\displaystyle m과 n\displaystyle n을 각각 구하시오.

※ 문항 [1.1]에서 구한 m\displaystyle m과 n\displaystyle n에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1.2] −10a≤x≤m\displaystyle -10a\leq x\leq m일 때 f(x)\displaystyle f(x)를 구하시오. (단, x≤−10a,x≥m\displaystyle x\leq-10a,x\geq m일 때 f(x)=0\displaystyle f(x)=0이다.)

[1.3] −10a≤x≤m\displaystyle -10a\leq x\leq m일 때 h(x)\displaystyle h(x)를 구하시오. (단, h(−10a)=0\displaystyle h(-10a)=0)

[1.4] h(x)\displaystyle h(x)의 최댓값 M\displaystyle M에 대하여 lim⁡a→0+M\displaystyle \lim_{a\to0+}M을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2019학년도 수시 오후 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2019su_pm/jayeon_1

[1.1] 넓이는 동일하므로 10n=mn+10m2\displaystyle 10n=\frac{m\sqrt n+10m}2 즉, m=20nn+10\displaystyle m=\frac{20n}{\sqrt n+10}이다.m,n\displaystyle m,n은 100\displaystyle 100보다 작은 서로 다른 자연수이므로 이 조건을 만족하는 m\displaystyle m과 n\displaystyle n을 찾으면 m=45,n=36\displaystyle m=45,n=36이다.

[1.2] −10a<x<0\displaystyle -10a<x<0일 때 f′(x)=g(x)=−36a→f(x)=−36ax+C1\displaystyle f^{\prime}(x)=g(x)=-\frac{36}a\rightarrow f(x)=-\frac{36}ax+C_1이다.문제의 조건으로부터 lim⁡x→−10a+f(x)=f(−10a)=0\displaystyle \lim_{x\to-10a+}f(x)=f(-10a)=0이 성립해야하므로 f(x)=−36ax−360\displaystyle f(x)=-\frac{36}ax-360이 된다.0<x<45\displaystyle 0<x<45일 때 f′(x)=g(x)=−1645x+16→f(x)=−845x2+16x+C2\displaystyle f^{\prime}(x)=g(x)=-\frac{16}{45}x+16\rightarrow f(x)=-\frac8{45}x^2+16x+C_2이다.여기서 f(x)\displaystyle f(x)가 연속함수이므로 f(0)=lim⁡x→0−f(x)=−360\displaystyle f(0)=\lim_{x\to0-}f(x)=-360을 이용하면 f(x)=−845x2+16x−360\displaystyle f(x)=-\frac8{45}x^2+16x-360이 된다.한편, lim⁡x→45−f(x)=0=f(45)\displaystyle \lim_{x\to45-}f(x)=0=f(45)이 성립함을 확인할 수 있다.즉 f(x)={−36ax−360(−10a≤x≤0)−845x2+16x−360(0≤x≤45)\displaystyle f(x)=\begin{cases}-\frac{36}ax-360&(-10a\leq x\leq0)\\-\frac8{45}x^2+16x-360&(0\leq x\leq45)\end{cases}이다.

[1.3] −10a<x<0\displaystyle -10a<x<0일 때 h′(x)=−f(x)=36ax+360→h(x)=18ax2+360x+C3\displaystyle h^{\prime}(x)=-f(x)=\frac{36}ax+360\rightarrow h(x)=\frac{18}ax^2+360x+C_3이다.여기서 lim⁡x→−10a+h(x)=h(−10a)=0\displaystyle \lim_{x\to-10a+}h(x)=h(-10a)=0을 이용하면 h(x)=18ax2+360x+1800a=18a(x+10a)2\displaystyle h(x)=\frac{18}ax^2+360x+1800a=\frac{18}a(x+10a)^2이 된다.x>0\displaystyle x>0일 때 h′(x)=−f(x)=845x2−16x+360→h(x)=8135x3−8x2+360x+C4\displaystyle h^{\prime}(x)=-f(x)=\frac8{45}x^2-16x+360\rightarrow h(x)=\frac8{135}x^3-8x^2+360x+C_4이다.여기서 h(x)\displaystyle h(x)가 연속함수이므로 h(0)=lim⁡x→0−h(x)=1800a\displaystyle h(0)=\lim_{x\to0-}h(x)=1800a임을 이용하면h(x)=8135x3−8x2+360x+1800a\displaystyle h(x)=\frac8{135}x^3-8x^2+360x+1800a이다.마지막으로 h(45)=lim⁡x→45−h(x)=5400+1800a\displaystyle h(45)=\lim_{x\to45-}h(x)=5400+1800a이다.즉 h(x)={18a(x+10a)2(−10a≤x≤0)8135x3−8x2+360x+1800a(0≤x≤45)\displaystyle h(x)=\begin{cases}\frac{18}a(x+10a)^2&(-10a\leq x\leq0)\\\frac8{135}x^3-8x^2+360x+1800a&(0\leq x\leq45)\end{cases}이다.

Caution. 구간별로 다르게 정의된 함수에 주의해야 한다: 주어진 함수는 x≥45\displaystyle x\ge45에서 f(x)=0\displaystyle f(x)=0이다. 따라서 해설에서 얻은 도함수식 h′(x)=8x245−16x+360\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{8x^2}{45}-16x+360은 0<x<45\displaystyle 0<x<45에서 적용하고, x≥45\displaystyle x\ge45에서는 h′(x)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=0으로 구별해야 한다. 경계 x=45\displaystyle x=45에서도 앞의 이차식의 값은 0\displaystyle 0이며, h\displaystyle h의 최댓값 5400+1800a\displaystyle 5400+1800a와 뒤에서 구하는 극한 5400\displaystyle 5400은 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[1.4] −10a≤x≤0\displaystyle -10a\leq x\leq0일 때 h′(x)=36a(x+10a)≥0\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{36}a(x+10a)\geq0이므로 h(x)\displaystyle h(x)는 증가함수이다.또 x≥0\displaystyle x\geq0일 때 h′(x)=845x2−16x+360=845(x2−90x+452)=845(x−45)2≥0\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac8{45}x^2-16x+360=\frac8{45}(x^2-90x+45^2)=\frac8{45}(x-45)^2\geq0이므로 h(x)\displaystyle h(x)는 증가함수이다. 그러므로 최댓값은 x=45\displaystyle x=45일 때이다.즉 M=8135(45)3−8(45)2+360(45)+1800a=5400−16200+16200+1800a=5400+1800a\displaystyle M=\frac8{135}(45)^3-8(45)^2+360(45)+1800a=5400-16200+16200+1800a=5400+1800a이다.따라서 lim⁡a→0+M=5400\displaystyle \lim_{a\to0+}M=5400이 된다.

Caution. 구간별로 다르게 정의된 함수에 주의해야 한다: 주어진 함수는 x≥45\displaystyle x\ge45에서 f(x)=0\displaystyle f(x)=0이다. 따라서 해설에서 얻은 도함수식 h′(x)=8x245−16x+360\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{8x^2}{45}-16x+360은 0<x<45\displaystyle 0<x<45에서 적용하고, x≥45\displaystyle x\ge45에서는 h′(x)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=0으로 구별해야 한다. 경계 x=45\displaystyle x=45에서도 앞의 이차식의 값은 0\displaystyle 0이며, h\displaystyle h의 최댓값 5400+1800a\displaystyle 5400+1800a와 뒤에서 구하는 극한 5400\displaystyle 5400은 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.