자연계열 3번

[3.1] 두 장의 카드를 뽑는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{30}\mathrm C_2$이다. 짝수 중 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$인 수는 $\displaystyle 6m+4$꼴이고, 이를 제곱하면 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle 1$이다. 짝수 중 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2$인 수는 $\displaystyle 6m+2$꼴이고, 이를 제곱하면 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle 1$이다. 이로부터 카드의 수를 문제의 규칙대로 더해서 $\displaystyle 3$의 배수가 될 수 있는 경우는 다음 세 가지임을 알 수 있다.(1) 뽑은 카드가 모두 $\displaystyle 3$의 배수인 경우 $\displaystyle {}_{10}\mathrm C_2$이다.(2) 뽑은 카드가 모두 홀수일 때 한 장은 $\displaystyle 6$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$이고 다른 한 장은 $\displaystyle 6$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 5$인 경우 $\displaystyle {}_{5}\mathrm C_1\times{}_{5}\mathrm C_1$이다.(3) 뽑은 카드의 홀짝이 다를 때 한 장은 $\displaystyle 6$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 5$이고 다른 한 장은 $\displaystyle 6$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2$ 또는 $\displaystyle 4$인 경우 $\displaystyle {}_{5}\mathrm C_1\times{}_{10}\mathrm C_1$이다.따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{10}\mathrm C_2+{}_{5}\mathrm C_1\times{}_{5}\mathrm C_1+{}_{5}\mathrm C_1\times{}_{10}\mathrm C_1}{{}_{30}\mathrm C_2}=\frac{45+25+50}{15\times29}=\frac{9+5+10}{3\times29}=\frac8{29}$이다.

[3.2] $\displaystyle n$장의 카드 중 $\displaystyle k$장을 선택하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_k$이고, $\displaystyle k$개의 카드를 $\displaystyle 2$개의 더미로 나누는 방법의 수는 더미 각각에 최소 한 장의 카드가 있어야 하고, 두 더미는 구분되지 않으므로 $\displaystyle \frac{2^k-2}2$이다. 그러므로 $\displaystyle k$장의 카드를 선택했을 때, 등록하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_k\times(2^{k-1}-1)$이다. 따라서 등록하는 방법의 수는$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=2}^n{}_{n}\mathrm C_k(2^{k-1}-1)&=\frac12\left(-1-2n+\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k2^k\right)-\left(-1-n+\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k\right)\\&=\frac{3^n-2n-1+2+2n-2^{n+1}}2=\frac{3^n-2^{n+1}+1}2\end{aligned}$이다.

[3.3] 먼저 $\displaystyle 3$장의 카드를 뽑았을 때 점수 획득을 위해서는 최소 $\displaystyle 2$장의 카드를 이용해야 하고 등록한 카드는 다시 이용할 수 없기 때문에 획득 가능한 최대 점수는 $\displaystyle 1$점이다. 즉 $\displaystyle 3$장의 카드를 뽑았을 때 가능한 점수는 $\displaystyle 1$점 혹은 $\displaystyle 0$점이다.이제 $\displaystyle 1$점을 얻을 수 있는 카드가 뽑힐 확률을 뽑은 카드 중 $\displaystyle 3$의 배수인 카드의 개수에 따라 나누어서 생각하자.우선 $\displaystyle 3$의 배수인 카드가 $\displaystyle 2$장 이상인 경우에는 득점을 할 수 있는 등록 방법이 있다.(1) $\displaystyle 3$의 배수가 $\displaystyle 3$장일 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{10}\mathrm C_3}{{}_{30}\mathrm C_3}$이다.(2) $\displaystyle 3$의 배수가 $\displaystyle 2$장일 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{10}\mathrm C_2\times{}_{20}\mathrm C_1}{{}_{30}\mathrm C_3}$이다.(3) $\displaystyle 3$의 배수인 카드가 $\displaystyle 1$장인 경우를 생각하자. $\displaystyle 3$의 배수를 제외한 $\displaystyle 2$장의 카드는 문항 [3.1]의 풀이로부터 한 장은 $\displaystyle 6$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 5$이고, 다른 한 장은 $\displaystyle 6$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1,2,4$이어야 한다. 따라서 이 경우 확률은 $\displaystyle \frac{{}_{10}\mathrm C_1\times({}_{5}\mathrm C_1\times{}_{15}\mathrm C_1)}{{}_{30}\mathrm C_3}$이다.(4) 카드 중 $\displaystyle 3$의 배수인 수가 한 장도 없는 경우에는 점수를 얻는 등록 방법은 없다.따라서 구하는 확률은 (1)부터 (4)까지의 확률을 더해서 얻을 수 있으므로$\displaystyle \frac{{}_{10}\mathrm C_3+{}_{10}\mathrm C_2\times{}_{20}\mathrm C_1+{}_{10}\mathrm C_1\times{}_{5}\mathrm C_1\times{}_{15}\mathrm C_1}{{}_{30}\mathrm C_3}=\frac{120+900+750}{5\times29\times28}=\frac{12+90+75}{29\times14}=\frac{177}{406}$이다.결론적으로 얻을 수 있는 점수의 기댓값은$\displaystyle 1\times\frac{177}{406}+0\times\left(1-\frac{177}{406}\right)=\frac{177}{406}$이다.